(新教材)【人教B版】20版必修一2.2.4.1(数学)

2.2.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值前提给定两个正数a，b结论数称为a，b的算术平均值数称为a，b的几何平均值ab2ab(2)均值不等式前提a，b都是正数，结论，等号成立的条件当且仅当a=b时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.abab2【思考】(1)算术平均值的实质是什么？提示：数a，b在数轴上对应的点的中点坐标.(2)均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.(3)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明.提示：不能，如是不成立的.(3)(4)(3)(4)22.均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.【思考】通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”，“二定”，“三相等”.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个不等式a2+b2≥2ab与成立的条件是相同的.()(2)当a0，b0时a+b≥2.()(3)当a0，b0时ab≤.()abab22ab()2ab(4)函数y=x+的最小值是2.()1x提示：(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式成立的条件是a0，b0.(2)√.均值不等式的变形公式.(3)√.均值不等式的变形公式.(4)×.当x0时，x+是负数.abab21x2.下列不等式正确的是()【解析】选C.因为a20，所以成立.22221A.a2a1B.(a)()2a1C.a2a1D.(a)()2a＋＋－＋＋221a2a＋3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.【解析】当a2+1=2a，即(a-1)2=0时“=”成立，此时a=1.答案：a=1类型一对均值不等式的理解【典例】1.若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2+b22abB.a+b≥2C.D.ab112ababba2ab2.不等式a+1≥2(a0)中等号成立的条件是()世纪金榜导学号A.a=0B.a=C.a=1D.a=212a【思维·引】利用均值不等式时需注意使用条件.【解析】1.选D.对于A项，当a=b时，应有a2+b2=2ab，所以A项错；对于B，C，条件ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为ab0，所以，所以.ba0ab，baba22abab2.选C.因为a0，根据均值不等式，当且仅当a=b时等号成立，故a+1≥2中等号成立当且仅当a=1.abab2a【内化·悟】1.使用均值不等式的前提条件是什么？提示：a0，b0.2.均值不等式中，等号成立的条件是什么？提示：a=b【类题·通】在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”.一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a=b有解.【习练·破】设0ab，则下列不等式中正确的是()ababA.ababB.aabb22ababC.aabbD.abab22【解析】选B.因为0ab，所以，所以a，同样由0ab得，所以b，由均值不等式可得，，综上，.0ababab22ab2abab2abaabb2类型二直接利用均值不等式求最值【典例】1.设x0，y0，且x+y=18，则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.822.当x1时，的最小值为________.世纪金榜导学号2x8x1【思维·引】根据已知条件，直接利用均值不等式求最值.【解析】1.选C.因为x0，y0，所以，即xy≤=81，当且仅当x=y=9时，(xy)max=81.xyxy2＋2xy()2＋2.令t=，因为x-10，所以t≥+2=8，当且仅当x-1=，即x=4时，t的最小值为8.答案：822x8(x1)2(x1)99(x1)2x1x1x192(x1)x19x1【内化·悟】能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？提示：一般条件中有“和为定值”或“积为定值”，要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”.【类题·通】利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点1.两种类型(1)若a+b=p(两个正数a，b的和为定值)，则当a=b时，积ab有最大值，可以用均值不等式求得.2p4abab2＋(2)若ab=S(两个正数的积为定值)，则当a=b时，和a+b有最小值2，可以用均值不等式a+b≥求得.S2ab2.一个关注点不论哪种情况都要注意等号取得的条件.【习练·破】已知a0，b0，ab=4，m=b+，n=a+，求m+n的最小值.1b1a【解析】因为m=b+，n=a+，所以m+n=b++a+.由ab=4，那么b=，所以b++a+==5，当且仅当即a=2时取等号.所以m+n的最小值是5.11ab11ab11ab4a41a5a55a5a2aa44a4a5a54a【加练·固】已知a0，b0，则的最小值是()A.2B.2C.4D.52112abab＋＋【解析】选C.因为a0，b0，所以≥4=4，当且仅当即a=b=1时，等号成立.1112ab22ababab＋＋＋1abab11ab1abab，类型三间接利用均值不等式求最值角度1“不正”问题【典例】已知x0，则3x+的最大值为________.世纪金榜导学号12x【思维·引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值.【解析】因为x0，所以-x0.则≤=-12，当且仅当=-3x，即x=-2时，3x+取得最大值为-12.答案：-1212123x[(3x)]xx＋122(3x)(x)12x12x【内化·悟】使用均值不等式的前提条件必须是所给的式子均大于0吗？提示：当所给式子均小于0，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化.角度2“不定”问题【典例】(1)已知x2，求x+的最小值.(2)已知0x，求x(1-2x)的最大值.世纪金榜导学号12121x2【思维·引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值.【解析】(1)因为x2，所以x-20，所以x+=x-2++2≥+2=4，所以当且仅当x-2=(x2)，即x=3时，x+的最小值为4.1x21x212(x2)()x21x21x2(2)因为0x，所以1-2x0，所以x(1-2x)=×2x(1-2x)≤，所以当且仅当2x=1-2x，即x=时，x(1-2x)的最大值为.121214212x12x1()42161(0x)21214116【素养·探】本例考查利用均值不等式求最值，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.若把本例(1)改为：已知x，试求4x-2+的最大值.5414x5【解析】因为x，所以4x-50，5-4x0.所以4x-5+3+=1.当且仅当5-4x=时等号成立，又5-4x0，所以5-4x=1，x=1时，4x-2+的最大值是1.54111(54x)32(54x)34x554x54x154x14x5【类题·通】通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.【习练·破】已知x0，求2-x-的最大值.4x【解析】因为x0，所以x+≥4，所以2-x-≤2-4=-2，所以当且仅当x=(x0)即x=2时，2-x-的最大值是-2.4x442(x)xx4x4x