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-1-2.1等式性质与不等式性质一元二次函数、方程和不等式首页课标阐释思维脉络1.会用不等式组表示不等关系.2.能够用作差法比较两个数或式的大小.3.掌握等式的性质.4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.5.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.课前篇自主预习一二三四一、不等式与不等关系1.填空不等式与不等关系(1)不等式的定义所含的两个要点.①不等符号,,≥,≤或≠.②所表示的关系是不等关系.(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言≥≤≤≥≥≤课前篇自主预习一二三四2.做一做某一路段限速40km/h,它是指司机在该路段行驶时,应使汽车的速度v(单位:km/h)不超过40km/h,写成不等式就是.答案:v≤40课前篇自主预习一二三四二、实数的大小比较1.如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?提示:通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.2.填空比较实数a,b的大小的依据课前篇自主预习一二三四3.做一做若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是.解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+30,∴x2-12x-5.答案:x2-12x-5课前篇自主预习一二三四三、重要不等式1.∀a,b∈R,a2+b2与2ab大小有何关系?提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0恒成立,所以a2+b2≥2ab.2.填空∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.课前篇自主预习一二三四四、不等式的性质1.请你梳理等式的基本性质,写出它的对称性、传递性、加减性、乘除性的关系式.提示:(1)对称性:如果a=b,那么b=a;(2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;(3)加减性:如果a=b,那么a±c=b±c;(4)可乘性:如果a=b,那么ac=bc;(5)可除性:如果a=b,c≠0,那么𝑎𝑐=𝑏𝑐.课前篇自主预习一二三四2.填空类比等式的基本性质,我们猜想并证明,得到如下不等式的性质:名称式子表达性质1(对称性)ab⇔ba性质2(传递性)ab,bc⇒ac性质3(可加性)ab⇒a+cb+c性质4ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc性质5(同向可加性)ab,cd⇒a+cb+d性质6(同向同正可乘性)ab0,cd0⇒acbd性质7(可乘方性)ab0⇒anbn(n∈N,n≥2)课前篇自主预习一二三四3.做一做(1)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.①在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.()②同向不等式具有可加性和可乘性.()③若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.()答案:①×②×③×④×⑤×④当x-3时,一定有1𝑥-13.()⑤若ab,则1𝑎1𝑏.()课前篇自主预习一二三四(2)若ab,则下列各式正确的是()A.a-2b-2B.2-a2-bC.-2a-2bD.a2b2解析:因为ab,所以a-2b-2,2-a2-b,-2a-2b,故A正确,B、C错误;又取a=0,b=-1时,ab,但a2b2,D错误,故选A.答案:A课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练用不等式(组)表示不等关系例1已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.分析:根据维生素A和B分别至少为56000单位和63000单位列不等式.食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:由题意知xkg的甲种食物中含有维生素A600x单位,含有维生素B800x单位,ykg的乙种食物中含有维生素A700y单位,含有维生素B400y单位,则xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B(800x+400y)单位,则有600𝑥+700𝑦≥56000,800𝑥+400𝑦≥63000,𝑥≥0,𝑦≥0,即6𝑥+7𝑦≥560,4𝑥+2𝑦≥315,𝑥≥0,𝑦≥0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“”“”“≠”“≥”或“≤”表示;而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用“ab”“ab”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.2.用不等式(组)表示不等关系的步骤:(1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数;(2)适当设未知数表示变量;(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1某市天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时,采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法.若整个小区每户都安装,收整体初装费10000元,再对每户收费500元.某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后,每户平均支付不足1000元,则这个小区的住户数为()A.至少20户B.至多20户C.至少21户D.至多21户解析:设这个小区的住户数为x,则由题意可得10000+500x1000x,解得x20.因为x是整数,所以这个小区的住户数至少为21户.故选C.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练实数大小的比较例2比较下列各组中的两个代数式的大小:(1)2x2+3与x+2,x∈R;分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨论.(2)a+2与31-𝑎,a∈R,且a≠1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2𝑥-142+78≥780,所以2x2+3x+2.(2)(a+2)-31-𝑎=(𝑎+2)(1-𝑎)-31-𝑎=-𝑎2-𝑎-11-𝑎=𝑎2+𝑎+1𝑎-1.由于a2+a+1=𝑎+122+34≥340,所以当a1时,𝑎2+𝑎+1𝑎-10,即a+231-𝑎;当a1时,𝑎2+𝑎+1𝑎-10,即a+231-𝑎.反思感悟用作差法比较实数大小的步骤作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2若a∈R,p=a2-a+1,q=1𝑎2+𝑎+1,比较p与q的大小.解:p-q=a2-a+1-1𝑎2+𝑎+1=𝑎2(𝑎2+1)𝑎2+𝑎+1=𝑎2(𝑎2+1)(𝑎+12)2+34,由于a+122+34≥340,a2+10,a2≥0,故p-q≥0,即p≥q,当且仅当a=0时,等号成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练不等式基本性质的应用1.应用不等式性质判断命题真假例3对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:(1)若ab,则ac2bc2;(2)若ab0,则a2abb2;分析:判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可.(3)若cab0,则𝑎𝑐-𝑎𝑏𝑐-𝑏;(4)若ab,1𝑎1𝑏,则a0,b0;(5)若ab0,则𝑏𝑎𝑎𝑏.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.(2)由𝑎𝑏,𝑎0可得a2ab.因为𝑎𝑏,𝑏0,所以abb2,从而有a2abb2.故该结论正确.(3)由ab0,可得-a-b0.因为cab,所以0c-ac-b,因此1𝑐-𝑎1𝑐-𝑏0,于是𝑎𝑐-𝑎𝑏𝑐-𝑏.故该结论正确.(4)由1𝑎1𝑏,可知1𝑎−1𝑏=𝑏-𝑎𝑎𝑏0.因为ab,所以b-a0,于是ab0.又因为ab,所以a0,b0.故该结论正确.(5)依题意取a=-2,b=-1,则𝑏𝑎=12,𝑎𝑏=2,显然𝑏𝑎𝑎𝑏.故该结论错误.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.2.注意正确的倒数法则,应该是ab,ab0⇒1𝑎1𝑏,不能误认为是ab⇒1𝑎1𝑏,在应用时不能出错.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3已知a,b,c满足cba,且ac0,则下列选项不一定成立的是()A.𝑐𝑎𝑏𝑎B.𝑏-𝑎𝑐0C.𝑏2𝑐𝑎2𝑐D.𝑎-𝑐𝑎𝑐0解析:因为cba,且ac0,所以c0,a0.于是𝑐𝑎𝑏𝑎,𝑏-𝑎𝑐0,𝑎-𝑐𝑎𝑐0,但b2与a2的大小关系不确定,故𝑏2𝑐𝑎2𝑐不一定成立.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.应用不等式性质证明不等式例4若ab0,cd0,e0,求证:𝑒(𝑎-𝑐)2𝑒(𝑏-𝑑)2.证明方法一𝑒(𝑎-𝑐)2−𝑒(𝑏-𝑑)2=𝑒[(𝑏-𝑑)2-(𝑎-𝑐)2](𝑎-𝑐)2(𝑏-𝑑)2=𝑒(𝑏-𝑑+𝑎-𝑐)(𝑏-𝑑-𝑎+𝑐)(𝑎-𝑐)2(𝑏-𝑑)2=𝑒[(𝑎+𝑏)-(𝑐+𝑑)][(𝑏-𝑎)+(𝑐-𝑑)](𝑎-𝑐)2(𝑏-𝑑)2.∵ab0,cd0,∴a+b0,c+d0,b-a0,c-d0.∴(a+b)-(c+d)0,(b-a)+(c-d)0.∵e0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练又(a-c)2(b-d)20,∴𝑒(𝑎-𝑐)2−𝑒(𝑏-𝑑)20,即𝑒(𝑎-𝑐)2𝑒(𝑏-𝑑)2.方法二𝑐𝑑0⇒-𝑐-𝑑0𝑎𝑏0⇒a-cb-d0⇒(a-c)2(b-d)20⇒1(𝑎-𝑐)21(𝑏-𝑑)2𝑒0⇒𝑒(𝑎-𝑐)2𝑒(𝑏-𝑑)2.反思感悟1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练4已知a,b,x,y都是正数,且1𝑎1𝑏,xy,求证:𝑥𝑥+𝑎𝑦𝑦+𝑏.证明∵a,b,x,y都是正数,且1𝑎1𝑏,xy,∴𝑥𝑎𝑦𝑏,∴𝑎𝑥𝑏𝑦,故𝑎𝑥+1𝑏𝑦+1,即0𝑥+𝑎𝑥𝑦+𝑏𝑦,∴𝑥𝑥+𝑎𝑦𝑦+𝑏.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.利用不等式性质求取值范围例5如果3a7,1b10,试求a+b,3a-2b,𝑏𝑎2的取值范围.分析:先根据a,b的取值范围得出3a,-2b,1𝑎2等的取值范围,再根据同向不等式的可加性与同正同向不等式的可乘性分别求出a+b,3a-2b,𝑏𝑎2的取值范围.解:因为3a7,1b10,所以3+1a+b7+10