常用逻辑用语复习课

《常用逻辑用语》复习课知识体系网络山东水浒书业有限公司·章常用逻辑用语返回本章知识结构:常用逻辑用语命题及其关系全称量词存在量词充分条件必要条件充要条件简单的逻辑联结词:且、或、非四种命题:原命题、逆命题、否命题、逆否命题.1.原命题与逆否命题同真同假.2.证明一个命题,可以考虑证它的逆否命题来间接证明.1.pq说p是q的充分条件,q是p的必要条件.2.pq说p与q互为充要条件.充要条件的探求是学好数学的基本功.知道命题的特征.能准确写出命题的否定.重要考点山东水浒书业有限公司·章常用逻辑用语返回一、四种命题形式及其关系注:(1)“互为”的;(2)原命题与其逆否命题同真同假.(3)逆命题与否命题同真同假.原命题若p,则q逆否命题若q,则p否命题若p,则q逆命题若q,则p互逆互否互否互逆互为逆否同真同假山东水浒书业有限公司·章常用逻辑用语返回二、充要条件、必要条件的判定对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断(1)从概念的角度去理解．①若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若pq，则p是q的充要条件．⑧若pq，且qp，则称p是q的充分不必要条件．④若pq，且qp，则称p是q的必要不充分条件．⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件山东水浒书业有限公司·章常用逻辑用语返回(2)从命题的角度去理解．设原命题为“若p，则q”，则①若原命题为真，则p是q的．②若逆命题为真，则p是q的．③若原命题和逆命题都为真，则p是q的.④若原命题为真而逆命题为假，则p是q的.⑤若原命题为假而逆命题为真，则p是q的．⑥若原命题和逆命题都为假，则p是q的.充分条件必要条件充要条件充分不必要条件必要不充分件既不充分也不必要条件山东水浒书业有限公司·章常用逻辑用语返回(3)从集合的角度去理解．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A={x|p(x)}，B={x|q(x))，则①若AB，则p是q的．②若BA，则p是q的．③若A=B，则p是q的．④若AB且BA，则p是q的．⑤若BA且AB，则p是q的．⑥若AB且BA，则p是q的.充分条件必要条件充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件山东水浒书业有限公司·个至少有(n+1)个至少有一个一个都没有至少有n个至多有(n-1)个“非p”─p的全盘否定.特别注意!山东水浒书业有限公司·章常用逻辑用语返回“或”“且”“非”BxAxxBA或BxAxBA且AxUxxA且⑵“p且q”─p、q同时为真才为真.注:⑴“p或q”─只要p、q中有一个为真就为真.(p、q同时为假才为假.)⑶“p”─p的全盘否定，p与p一真一假.1.逻辑联结词山东水浒书业有限公司·()xMpx.即“全称命题”的否定是“特称命题”，反过来也一样.它的否定p:,()xMpx.另外,判断全称命题为假,只要找一个反例即可;专题探究精讲命题及命题真假的判断命题真假的判断是高考考查的重要内容之一，是高考的热点题型．这类题型一般涉及到一些一般命题真假的判断、含有逻辑联结词的命题真假的判断、含有一个量词的命题真假的判断、命题的四种形式中真假的判断等．并且这类题型一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以填空题的形式出现．1．判断一般命题的真假下列命题：①G＝ab(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分而不必要条件；②若角α，β满足cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)＝0；③若不等式|x－4|a的解集非空，则必有a0；④函数y＝sinx＋sin|x|的值域是[－2,2]．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．例1【解析】当G＝ab(G≠0)时，有G2＝ab，所以a，G，b成等比数列，但当a，G，b成等比数列时，还可以有G＝－ab，所以G＝ab(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分而不必要条件，故①正确；当cosαcosβ＝1时，有cosα＝cosβ＝－1或cosα＝cosβ＝1，即α＝2k1π＋π(k1∈Z)，β＝2k2π＋π(k2∈Z)或α＝2k3π(k3∈Z)，β＝2k4π(k4∈Z)，这时α＋β＝2(k1＋k2)π＋2π(k1，k2∈Z)或α＋β＝2(k3＋k4)π(k3，k4∈Z)，必有sin(α＋β)＝0，故②正确；由于|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|a的解集是空集，如果不等式|x－4|a的解集非空，必有a0，故③正确；【答案】①②③④函数y＝sinx＋sin|x|＝2sinx，x≥00，x0，所以该函数值域为[－2,2]，故④正确．【名师点评】命题真假的判断等问题往往会将所学习过的知识综合起来，既考查对命题等概念的理解，又考查相应的数学知识，是高考的热点题型．解决这类问题时，一定要熟悉相关的数学知识．2．根据四种命题间的关系判断真假命题“若C＝90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是________．例2【解析】对于原命题来说，是真命题．其逆命题为“若△ABC是直角三角形，则C＝90°”，这是一个假命题，因为当△ABC为直角三角形时，A、B也可能为直角．这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题．因此真命题的个数是2.【答案】2【名师点评】判断命题的真假，除了直接对命题本身进行判断外，还可以根据命题的等价性进行判断．事实上，在命题的四种形式中，真命题的个数一定为偶数，因为原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．3．判断含有逻辑联结词的命题的真假已知命题p：不等式x(x－1)0的解集是{x|0x1}，命题q：“A＝B”是“sinA＝sinB”成立的必要而不充分条件，则下列正确的是________．①p真q假②p∧q为真③p∨q为假④p假q真例3【解析】对于命题p，由x(x－1)0，解得0x1，故解集是{x|0x1}，因此命题p为真命题；对于命题q，由A＝B，一定有sinA＝sinB，但当sinA＝sinB时，不一定有A＝B，所以“A＝B”是“sinA＝sinB”成立的充分而不必要条件，因此命题q为假命题．【答案】①【名师点评】对含有逻辑联结词的命题而言，其真假的判断主要根据逻辑联结词的含义和真值表进行，但首先应搞清楚每一个简单命题的真假．处理充要条件的问题，首先要弄清充分条件、必要条件、充要条件的概念，其次要会利用“定义法”“集合法”“四种命题关系法”“逆推法”等来判定充要条件的问题．充分、必要条件的推理判断1．判断是何种条件设函数f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，p：a＋2b0，q：f(x)0恒成立，则p是q的________条件．例4【解析】当f(x)0恒成立时，有f0＝b0f1＝a＋b0⇒b＋(a＋b)0，即a＋2b0；但当a＋2b0时，不一定有f(x)0恒成立，例如：当a＝3，b＝－1时，f(x)＝3x－1.所以p是q的必要而不充分条件．【答案】必要不充分【名师点评】在进行充分、必要条件的判断时，要注意问题的设问方式．例如A是B的充分而不必要条件是指：A⇒B且BA；而A是B的必要不充分条件是指：B⇒A且AB．这是在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆的两种说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断．2．求充要条件对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋450成立的充分必要条件是________．例5【解析】令[x]＝t，则不等式变为4t2－36t＋450，即(2t－3)(2t－15)0，解得32t152，于是32[x]152，由[x]的意义得2≤x8，此为不等式4[x]2－36[x]＋450成立的充要条件．【答案】[2,8)【名师点评】解题的关键在于利用换元法将不等式转化为一元二次不等式，然后根据所给出的定义进行求解，要搞清楚充分必要条件的含义．3．根据条件求参数的取值范围已知p：x2－8x－200，q：x2－2x＋1－a20，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．【思路点拨】p是q的充分不必要条件，即p⇒q且qp，利用集合间的包含关系求a的范围．例6【解】解不等式x2－8x－200，得p：A＝{x|x10或x－2}；解不等式x2－2x＋1－a20，得q：B＝{x|x1＋a或x1－a，a0}．依题意p⇒q但qp，说明AB.于是有a01＋a≤101－a－2或a01＋a101－a≥－2，解得0a≤3，所以正实数a的取值范围是0a≤3.【名师点评】可以利用集合之间的包含关系对充要条件进行判断，如果命题p和q所涉及的问题对应的集合分别为A、B，则具体情况如下：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件．根据充分、必要条件求参数取值范围时，可先找到相应集合之间的包含关系，再求解参数的取值范围．根据简单命题的真假，利用真值表判断复合命题的真假，要掌握以下规律：(1)“p或q”形式的复合命题：只有当命题“p”与命题“q”同为假时才为假，否则都为真；(2)“p且q”形式的复合命题：只有当命题“p”与命题“q”同为真时才为真，否则都为假；(3)“非p”形式的复合命题：其真假与命题“p”的真假相反．命题及逻辑联结词的应用已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋40对∀x∈R恒成立；命题q：函数y＝－(4－2a)x是R上的减函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是________．例7【解析】先简化命题p、q，构建关于a的关系式．由x2＋2ax＋40对∀x∈R恒成立，得Δ＝(2a)2－4×40，解得－2a2.所以p⇔－2a2.由y＝－(4－2a)x是R上的减函数，得4－2a1，解得a32.所以q⇔a32.由“p∨q”为真，“p∧q”为假知，p与q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．所以－2a2，a≥32，或a≤－2或a≥2，a32，从而得32≤a2或a≤－2.【名师点评】先简化两个命题，并求出两个命题为真时a的范围，最后根据题中命题的关系确定出a的取值范围．【答案】[32，2)∪(－∞，－2]在学习中，我们可以通过具体的例子来理解相关的概念，巩固知识．由于全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，因此，我们可以通过举反例来否定一个全称命题．量词与命题已知命题p：∀x∈R，(x－1)(x＋2)＝0，则命题p的否定是________．【解析】命题p是一个全称命题，其否定为存在性命题，即∃x0∈R，(x0－1)(x0＋2)≠0.【答案】∃x0∈R，(x0－1)(x0＋2)≠0例8【名师点评】对含有一个量词的命题进行否定，是高考考查