高一数学17幂函数与函数图象变化

第七节幂函数与函数的图象变换重点难点重点：①幂函数的定义、图象与性质．②函数图象三种基本变换规则．难点：①幂函数图象的位置和形状变化与指数的关系．②利用基本变换规则作函数图象一、幂函数的定义和图象1．定义：形如y＝xα的函数叫幂函数(α为常数)要重点掌握α＝1,2,3，12，－1,0，－12，－2时的幂函数2．图象：(只作出第一象限图象)幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：α＝qpα00α1α1p、q都是奇数α＝qpα00α1α1p为奇数，q为偶数p为偶数，q为奇数3.性质：(1)当α0时，幂函数图象都过点和点；且在第一象限都是函数；当0α1时曲线上凸；当α1时，曲线下凸；α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的(2)当α0时，幂函数图象总经过点，且在第一象限为函数．(3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．(0,0)(1,1)增直线．(1,1)减二、函数的图象与图象变换1．画图描点法①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、值域)；④列对应值表(尤其注意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．图象变换法(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象．(3)伸缩变换①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．2．识图绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功．识图要首先把握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外有无渐近线，正、负值区间等都是识图的重要方面，要注意函数解析式中含参数时．怎样由图象提供信息来确定这些参数．3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．4．图象对称性的证明(1)证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．5．有关结论若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形．误区警示1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y＝f(x)位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y≥0.比如y＝|sinx|与y＝sin|x|.2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x)的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变换且顺序也相反，即②→①.3．在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α0，α＝0和α0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．一、数形结合的思想函数的图象可以形象地反映函数的性质．通过观察图形可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．数形结合借助于图象与函数的对应关系研究函数的性质，应用函数的性质．其本质是：函数图象的性质反映了函数关系；函数关系决定了函数图象的性质．二、图形变换方法作图是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征．[例1](1)已知(0.71.3)m(1.30.7)m，求m的范围．(2)比较大小：0.80.7与0.70.8.幂函数的单调性解析：(1)∵00.71.31,1.30.71，∴0.71.31.30.7考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m(1.30.7)m知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m0.(2)指数函数y＝0.8x是减函数，∴0.80.70.80.8又幂函数y＝x0.8在第一象限为增函数∴0.80.80.70.8，∴0.80.70.70.8.若(a＋1)－13(3－2a)－13，则a的取值范围是______．解析：幂函数y＝x－13在(0，＋∞)上为减函数，函数值y0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y0.∴有a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a0，∴23a32或a－1即a的取值范围为(23，32)∪(－∞，－1)．答案：(23，32)∪(－∞，－1)[例2](文)如果函数f(x＋1)是偶函数，那么函数y＝f(2x)的图象的一条对称轴是直线()幂函数的图象A．x＝－1B．x＝1C．x＝－12D．x＝12解析：∵f(x＋1)为偶函数，∴将f(x＋1)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，∴f(x)的对称轴为x＝1，∴f(2x)对称轴为x＝12.故选D.答案：D(理)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．分析：先根据条件确定m的值，再利用幂函数的单调性求a的范围．图象关于y轴对称说明此幂函数为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，说明指数为负，故应从指数小于0入手求解．解析：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N＋，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.∵y＝x－13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13(3－2a)－13等价于a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a.解得a－1或23a32.故a的范围为aa－1或23a32.幂函数y＝xm2＋3m(m∈Z)的图象如下图所示，则m的值为()A．－3m0B．－1C．－2D．－1或－2解析：∵y＝xm2＋3m在第一象限为减函数，∴m2＋3m0，∴－3m0∵m∈Z，∴m的可能值为－2，－1.代入函数解析式知，当m＝－1和－2时，函数都是y＝x－2，为偶函数，故选D.答案：D[例3]函数f(x)＝12x－x，x∈[－2,2]的图象大致是()解析：∵y＝2x为增函数，且2x0，∴y＝12x为减函数，故f(x)＝12x－x为减函数，排除C、D；又f(0)＝1，排除A，故选B.答案：B若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图，则f(x)·g(x)的图象可能是()解析：由f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可知f(x)·g(x)为奇函数，x∈(－3,0)时，f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(x)0，故选C.答案：C[例4](文)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．数形结合的思想解析：由图可知，ⅰ)当a1时，2a2，不成立．ⅱ)当0a1时，02a1⇒0a12.综上所述，a的取值范围是0a12.答案：0，12(理)(2010·山东临沂)已知函数f(x)＝15x－log3x，若x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)的值()A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于0解析：作函数y＝15x和y＝log3x图象，如下图可知，当0x1x0时，15x1log3x1，则f(x1)＝15x1－log3x10.答案：A(文)方程2－x＋x2＝3的实数解的个数是()A．2B．3C．1D．4解析：构造函数y＝2－x与y＝3－x2，由图象可知两函数图象有两个交点，故方程2－x＋x2＝3有2个实数根，所以选A.答案：A(理)已知f(x)是以2为周期的偶函数．当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠－1)有四个根，则k的取值范围是()A．(－1,0)B．(－12，0)C．(－13，0)D．(－14，0)解析：分别作出两个函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1在[－1,3]内的图象，结合函数f(x)的周期性作出各个区间内的图象，而函数y＝kx＋k＋1的图象过点A(－1,1)，∴当k∈(kAB，kAC)时，两函数图象有四个交点．∵B(2,0)，C(1,1)，∴k∈(－13，0)，∴选C.答案：C一、选择题1．(文)在下列四个函数①y＝x13②y＝x12③y＝x－2④y＝x0中，为偶函数的是()A．①B．①③C．③④D．①②③④[答案]C[解析]易判断③④为偶函数．(理)(2010·广西聊州市模拟)已知函数①y＝3x；②y＝lnx；③y＝x－1；④y＝x12.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是()•A．②①③④B．②③①④•C．④①③②D．④③①②•[答案]D[解析]①y＝3x为单调增的指数函数，其图象为第三个图，排除A、C；②y＝lnx为单调增的对数函数，其图象为第四个图，排除B，故选D.2．(文)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0[答案]C[解析]原命题正确，故其逆否命题正确，逆命题是假命题，故否命题也为假．所以真命题个数为1.(理)已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3B．2C．1D．－2[答案]B[解析]曲线y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴顶点为(1,2)．∵a、b、c、d成等比数列，∴ad＝bc＝1×2＝2.故选B.3．要将函数y＝1＋x－1的图象变换成幂函数y＝x12的图象，需要将y＝1＋x－1的图象()A．向左平移一个单位，再向上平移一个单位B．向左平移一个单位，再向下平移一个单位C．向右平移一个单位，再向上平移一个单位D．向右平移一个单位，再向下平移一个单位[答案]B[解析]可运用逆向思维．如果由y＝x12的图象得到y＝1＋x－1的图象，需要将y＝x12的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可．现在是反过来的问题，因此，要得到函数y＝x12的图象，需要将y＝1＋x－1的图象向下平移一个单位，再向左平移一个单位，故选B.二、填空题4．(文)(2010·芜湖十二中)幂函数y＝f(x)的图象经过点－2，－18，则满足f(x)＝27的x的值是______．[答案]13[解析]∵f(x)＝xα过点－2，－18，∴(－2)α＝－18，∴α＝－3.由f(x)＝27得，x－3＝27，∴x＝13.(理)幂函数y＝x－12p2＋p＋32(p∈Z)为偶函数，且f(1)f(4)，则实数p＝________.[答案]1[解析]∵f(1)f(4)，∴－12p2＋p＋320，∴－1