等比数列讲义及习题

等比数列讲义及习题1、等比数列的有关概念：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1nnqNaann（或)(*1Naanqnn2、等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如1、一个等比数列{na}共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为____（答：56）；2、数列{}na中，nS=41na+1(2n)且1a=1，若nnnaab21，求证：数列｛nb｝是等比数列。3、等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaaq。如设等比数列{}na中，166naa，21128naa，前n项和nS＝126，求n和公比q.（答：6n，12q或2）4、等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。如等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa（答：44）提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()abab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）6、等比数列的性质：（1）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq时，则有qpnmaaaa..，特别地，当2mnp时，则有2.pnmaaa.如1、在等比数列{}na中，3847124,512aaaa，公比q是整数，则10a=___（答：512）；2、各项均为正数的等比数列{}na中，若569aa，则3132310logloglogaaa（答：10）。(2)若{an}是公比为q的等比数列，则{|an|}、{a2n}、{kan}、{na1}也是等比数列，其公比分别为|q|}、{q2}、{q}、{q1}。若{}{}nnab、成等比数列，则{}nnab、{}nnab成等比数列；若{}na是等比数列，且公比1q，则数列232,,nnnnnSSSSS，…也是等比数列。当1q，且n为偶数时，数列232,,nnnnnSSSSS，…是常数数列0，它不是等比数列.若an是等比数列，且各项均为正数，则analog成等差数列。若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，T3亦成等比数列如1、已知0a且1a，设数列{}nx满足1log1logananxx(*)nN，且12100100xxx，则101102200xxx.（答：100100a）；2、在等比数列}{na中，nS为其前n项和，若140,1330101030SSSS，则20S的值为______（答：40）(3)单调性：若10,1aq，或10,01aq则{}na为递增数列；若10,1aq,或10,01aq则{}na为递减数列；若0q，则{}na为摆动数列；若1q，则{}na为常数列.(4)在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.课堂练习1、写出以下各数列的通项公式：①,81,41,21,1②,1,0,1,0,1,0③,544,433,322,211④,6,7,8,9,10⑤,31,17,7,5,1⑥,6463,3635,1615,43⑦,301,201,121,61,21⑧,9999,999,99,9（9）3，5，9，17，33，…；（10），，，，…；（11）1，0，-，0，，0，-，0，…．2/已知函数f(n)＝n2(当n为奇数时)，－n2(当n为偶数时)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于3.已知数列}{na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则20a=4/已知f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，则a2006＝等比数列练习题1.已知na为等比数列，6,3876321aaaaaa，求131211aaa的值.2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为.3.已知nS为等比数列na的前n项和，364,243,362nSaa，则n；4.已知等比数列na中，21a，则其前3项的和3S的取值范围是.5已知na为等比数列，162,262aa，则10a6已知nS为等比数列na前n项和，93nS，48na，公比2q，则项数n.7/已知nS为等比数列na前n项和，54nS，602nS，则nS3.8/已知等比数列na中，36)2(,04624aaaaan，则53aa.解答题1/已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2/已知nS为等比数列na前n项和，13233331nna，求nS3/已知nS为等比数列na前n项和，nnna3)12(，求nS.4.已知数列{}na的首项123a，121nnnaaa，1,2,3,n…．证明：数列1{1}na是等比数列；5/设nS为数列na的前n项和，已知21nnnbabS⑴证明：当2b时，12nnan是等比数列；⑵求na的通项公式6/在等比数列｛an｝中，an＞0(n∈N*），公比q∈(0，1)，且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与a5的等比中项为2。（1)求数列｛an｝的通项公式；（2）设bn=log2an，数列｛bn｝的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。7.某工厂三年的生产计划中，从第二年起每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元。如果第一年，第二年，第三年分别比原计划产值多10万元，10万元，11万元，那么每一年比上一年增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值8.已知数列na的前n项和为nS，1(1)3nnSanN；⑴求1a，2a的值；⑵证明数列na是等比数列，并求nS．