数列求和练习(奇偶项)

第1页（共9页）数列综合（奇偶项）一．选择题（共1小题）1．设{an}是公比为q的等比数列，其前n项的积为Tn，并且满足条件：a1＞1，a99a100﹣1＞0，𝑎99−1𝑎100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②T198＜1；③a99a101＜1；④使Tn＜1成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（）A．①②③B．①④C．②③④D．①③④二．填空题（共1小题）2．已知函数f（n）={𝑛2(当𝑛为奇数时)−𝑛2(当𝑛为偶数时)，且an＝f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100等于．三．解答题（共20小题）3．各项均为正数的等比数列{an}满足a2＝3，a4﹣2a3＝9．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝（2n﹣1）•log3a2n+2（n∈N*），数列{1𝑏𝑛}的前n项和为Tn，证明：Tn＜12．4．已知数列{an}的前n项和𝑆𝑛=𝑛2−2𝑘𝑛（k∈N*），Sn的最小值为﹣9．（1）确定k的值，并求数列{an}的通项公式；（2）设𝑏𝑛=(−1)𝑛⋅𝑎𝑛，求数列{bn}的前2n+1项和T2n+1．5．已知数列{an}满足a1＝2，𝑎𝑛+1+2𝑎𝑛=(−1)𝑛（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{𝑎𝑛−(−1)𝑛}是等比数列；（2）设𝑏𝑛=−2𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，满足a2＝5，S5＝35，Tn是数列{bn}的前n项和，满足Tn＝2bn﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）令𝑐𝑛={2𝑆𝑛，𝑛=2𝑘−1𝑎𝑛𝑏𝑛，𝑛=2𝑘(𝑘∈𝑁∗)，设数列{cn}的前n项和Pn，求P2n的表达式．7．等差数列{an}前n项和为Sn，且S4＝32，S13＝221．（1）求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足𝑏𝑛+1−𝑏𝑛=𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)且b1＝3，求{1𝑏𝑛}的前n项和Tn．8．设数列{an}满足a1=1，𝑎𝑛+1=44−𝑎𝑛（n∈N*）（1）求证：数列{1𝑎𝑛−2}是等差数列；第2页（共9页）（2）设bn=𝑎2𝑛𝑎2𝑛−1，求数列{bn}的前n项和为Tn．9．设数列{an}的前项n和为Sn，且满足a𝑛−12𝑆𝑛−1=0(𝑛∈𝑁∗)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列{Sn+（n+2n）λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．10．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，{an}的部分项组成下列数列：ak1，ak2，…，akn，恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn．11．已知数列{an}中a1＝1，且a2k＝a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1＝a2k+3k，其中k＝1，2，3，…．（I）求a3，a5；（II）求{an}的通项公式．12．设数列{an}的首项a1=12，且an+1={12𝑎𝑛(𝑛为偶数)𝑎𝑛+14(𝑛为奇数)，记bn＝a2n﹣1−14（n∈N*）bn＝a2n﹣1−14（n∈N*）．（1）求a2，a3；（2）证明：{bn}是等比数列；（3）求数列{3𝑛+1𝑏𝑛}的前n项和Tn．13．Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，2𝑆𝑛=𝑎𝑛+12−𝑎𝑛+1−2，且a1＝2．（1）求{an}的通项公式（2）设𝑐𝑛=(−1)𝑛𝑎𝑛2，求c1+c2+…c2018的值．14．设等差数列{bn}的前n项和为Sn，已知b2＝4，S5＝30．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）设an＝bncosnπ，求数列{an}的前30项和T30．15．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4，an+1＝4an﹣3an﹣1（n≥2）．（Ⅰ）证明：{an+1﹣an}为等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=(3𝑛2−𝑎𝑛)(−1)𝑛𝑛，求{𝑏𝑛}的前n项的和Sn．16．已知数列{an}，满足a1＝1，2anan+1+3an+1＝3an；（1）求{an}的通项公式；（2）若𝑐𝑛=(−1)𝑛+11𝑎𝑛𝑎𝑛+1，求{cn}的前2n项的和T2n17．已知Sn为数列{an}的前n项和，𝑆𝑛=2𝑎𝑛−2(𝑛∈𝑁+)，数列{bn}满足2𝑏𝑛=𝑆𝑛+1−𝑆𝑛(𝑛∈𝑁+)．（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若𝑐𝑛=𝑎𝑛+(−1)𝑛𝑏𝑛，求数列{cn}的前2n项和T2n．第3页（共9页）18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，数列{𝑏𝑛𝑛}是公差为1的等差数列，若a1＝2b1，a4﹣a2＝12，S4+2S2＝3S3．（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（II）设cn={𝑛𝑏𝑛(𝑛+2)(𝑛为奇数)2𝑎𝑛(𝑛为偶数)，Tn为{cn}的前n项和，求T2n．19．已知等差数列{an}的前n项和味Sn，a1＞0，a1•a2=32，S5＝10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列bn={2𝑎𝑛，𝑛为奇数𝑎𝑛，𝑛为偶数，求数{bn}的前2n+1项和T2n+1．20．已知等差数列{an}满足a3＝7，a5+a7＝26．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝（﹣1）nanan+1，求数列{bn}的前2n项的和S2n．21．已知数列{an}的前n项和为Sn满足Sn＝2an﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列bn=(−1)𝑛+12an+3（n∈N*）的前2n项的和T2n．22．已知数列{an}满足a1＝3，𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛+(−1)𝑛(3𝑛+1)．（1）求证：数列{𝑎𝑛+(−1)𝑛𝑛}是等比数列；（2）求数列{an}的前10项和S10．第4页（共9页）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．【解答】解：∵a99a100﹣1＞0，∴a12•q197＞1，∴（a1•q98）2＞1∵a1＞1，∴q＞0，又∵𝑎99−1𝑎100−1＜0∴a99＞1，a100＜1．∴0＜q＜1，即①正确，又∵T198＝a1198•q1+2+…+197＝（a99•a100）99＞1∴②不正确，a99a101＝a1002＜1，∴③正确；满足𝑇𝑛=𝑎1⋅𝑞𝑛−12＜1的最小自然数n满足𝑛−12=99，即n＝199，∴④正确．∴正确的为①③④故选：D．二．填空题（共1小题）2．【解答】解：∵an＝f（n）+f（n+1）∴由已知条件知，𝑎𝑛={𝑛2−(𝑛+1)2=−(2𝑛+1)𝑛是奇数−𝑛2+(𝑛+1)2=2𝑛+1𝑛是偶数∴𝑎𝑛=(−1)𝑛⋅(2𝑛+1)，∴an+an+1＝2（n是奇数）∴a1+a2+a3+…+a100＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝2+2+2+…+2＝100故答案为：100三．解答题（共20小题）3．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，q＞0，由a2＝3，a4﹣2a3＝9得3（q2﹣2q）＝9，解得q＝3或q＝﹣1．因为数列{an}为正项数列，所以q＝3，所以，首项a1=𝑎2𝑞=1，故其通项公式为an＝3n﹣1，n∈N*；（2）证明：由（1）得bn＝（2n﹣1）•log3a2n+2＝（2n﹣1）log332n+1＝（2n﹣1）（2n+1），所以1𝑏𝑛=1(2𝑛−1)(2𝑛+1)═12（12𝑛−1−12𝑛+1），即有前n项和Sn=12（1−13+13−15+⋯+12𝑛−1−12𝑛+1）=12（1−12𝑛+1）＜12．4．【解答】满分（12分）．解：（1）由已知得𝑆𝑛=𝑛2−2𝑘𝑛=(𝑛−𝑘)2−𝑘2，因为k∈N*，当n＝k时，(𝑆𝑛)𝑚𝑖𝑛=−𝑘2=−9，故k＝3；所以𝑆𝑛=𝑛2−6𝑛．因为𝑆𝑛−1=(𝑛−1)2−6(𝑛−1)，（n≥2），所以𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=(𝑛2−6𝑛)−[(𝑛−1)2−6(𝑛−1)]，得an＝2n﹣7（n≥2）．当n＝1时，S1＝﹣4＝a1，综上，an＝2n﹣7．（2）依题意，𝑏𝑛=(−1)𝑛⋅𝑎𝑛=(−1)𝑛(2𝑛−7)，所以𝑇2𝑛+1=5−3+1+1−3+5+⋯⋯+(−1)2𝑛(4𝑛−7)+(−1)2𝑛+1[2(2𝑛+1)−7]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=5−(2+2+⋯+2)︸𝑛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝5﹣2n．5．【解答】（Ⅰ）证明：𝑎𝑛+1−(−1)𝑛+1𝑎𝑛−(−1)𝑛=−2𝑎𝑛+(−1)𝑛−(−1)𝑛+1𝑎𝑛−(−1)𝑛=−2𝑎𝑛+2(−1)𝑛𝑎𝑛−(−1)𝑛=−2，……（3分）且首项a1+1＝3≠0，∴数列{𝑎𝑛−(−1)𝑛}是等比数列．第5页（共9页）（Ⅱ解：𝑏𝑛=−2𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1=−2𝑛(−1)𝑛−1(3×2𝑛−1−1)(−1)𝑛(3×2𝑛−1)=2𝑛(3×2𝑛−1−1)(3×2𝑛−1)=23(13×2𝑛−1−1−13×2𝑛−1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴𝑇𝑛=23(12−13×2𝑛−1)＜13，∴𝑚≥13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6．【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是等差数列S5＝35，∴𝑆5=5(𝑎1+𝑎5)2=35，a3＝7，∵a2＝5，∴d＝2，∴an＝a2+（n﹣2）•2＝2n+1．当n＝1时T1＝2b1﹣1，∴b1＝1．当n≥2时Tn﹣1＝2bn﹣1﹣1又∵Tn＝2bn﹣1，∴bn＝2bn﹣2bn﹣1bn＝2bn﹣1∴{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴𝑏𝑛=2𝑛−1．（Ⅱ）∵𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛(𝑛+2)，∴2𝑆𝑛=2𝑛(𝑛+2)=1𝑛−1𝑛+2设前2n项中奇数项的和为An，偶数项的和为Bn𝐴𝑛=1−13+13−15+15−⋯+12𝑛−1−12𝑛+1=1−12𝑛+1=2𝑛2𝑛+1．𝐵𝑛=𝑎2𝑏2+𝑎4𝑏4+⋯+𝑎2𝑛𝑏2𝑛=5×21+9×22+⋯+(4𝑛+1)×22𝑛−1①4𝐵𝑛=5×22+9×23+⋯+(4𝑛+1)×22𝑛+1②，①﹣②得：−3𝐵𝑛=5×21+4×(23+25+⋯+22𝑛−1)−(4𝑛+1)×22𝑛+1．−3𝐵𝑛=5×21+4×23−22𝑛−1⋅41−4−(4𝑛+1)×22𝑛+1，−3𝐵𝑛=5×21+4×(−83+22𝑛+13)−(4𝑛+1)×22𝑛+1−3𝐵𝑛=−23+(13−4𝑛)⋅22𝑛+1𝐵𝑛=(12𝑛−1)⋅22𝑛+19+29．∴𝑃2𝑛=(12𝑛−1)⋅22𝑛+19+29+2𝑛2𝑛+1．7．【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，前n项和为Sn，且S4＝32，S13＝221．可得4a1+6d＝32，13a1+78d＝221，解得a1＝5，d＝2，可得an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；（2）由bn+1﹣bn＝an＝2n+3，可得bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）＝3+5+7+…+2n+1=12n（2n+4）＝n（n+2），1𝑏𝑛=12（1𝑛−1𝑛+2），则前n项和Tn=12（1−13+12−14+13−15+⋯+1𝑛−1−1𝑛+1+1𝑛−1𝑛+2）=12（32−1𝑛+1−1𝑛+2）．8．【解答】解：（1）由𝑎1=1，𝑎𝑛+1=44−𝑎𝑛．可得2−𝑎𝑛2𝑎𝑛−4=−12为常数，从而可得数列{1𝑎𝑛−2}是﹣1为首项，−12为公差的等差数列；（2）由（1）知𝑎𝑛=2𝑛𝑛+1，则𝑏𝑛=𝑎2𝑛𝑎2𝑛−1=4𝑛2(2