中考数学圆内心外心

圆重、难点突破第1页共7页EFDOABC前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。第1个问题内心、外心知多少【2013元调第10题】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A、AIBAOBB、AIBAOBC、121802AIBAOBD、121802AOBAIB分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。∠AIB和∠AOB都与∠C有关系，∠AOB=2∠C，∠AIB=180°（∠IAB+∠IBA）=180°12（∠A+∠B）=180°12（180°-∠C）=90°+12∠C外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题）内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）11190,90,90222BOCABOACAOCB（2）1()2SabcrABC，a、b、c为三边长，r是内切圆的半径当90BAC时，四边形ADOF为正方形，2abcrOICABOCABIABCDBOCAE圆重、难点突破第2页共7页【例题1】如图，AB是⊙O的直径，点P为半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，连接PI交⊙O于点M，IN⊥BP于N，下列结论：①∠APM=45°；②AB=2IM；③∠BIM=∠BAP；④PMOBIN=22；其中正确的个数有________________A、1个B、2个C、3个D、4个分析：①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP是直角三角形②I为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线则PI平分APB，所以∠APM=45°。圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。这里APMBPM，则AM=BM则△AMB为等腰直角三角形，AM=BM，AB=2AM③欲证AB=2IM，则证IM=AM或IM=BM即可。令IABIAPx，则45,45IAMxAIMx（内心性质、外角等于不相邻2内角之和）④对于∠BIM=∠BAP这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别，若P在AB中点处，显然∠BIM=∠BAP不成立⑤式子看起来很复杂，看见2联系等腰直角三角形。本题的主线是内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。过点M作AP、BP边的垂线，易证PCMD为正方形。AB=2OB，则IM=AM=22AB，而AB=2OB，所以IM=2OB，又PI=2IN，所以PM=2（IN+OB），证毕【例题2】（2013黄冈一模）如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（）个①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；4545xxNIMABP45xxNIMABPCDNIMAOBP圆重、难点突破第3页共7页A、1个B、2个C、3个D、4个分析：①第1和第2个结论是正确，第4个结论是错误的，不解释；②第3个结论，有一定难度方法1：勾股定理由图知：底边BC一定，则AE最大时，△ABC的面积的最大令AB=a，BE=b，则AC=10a，CE=6b由于2222ABBEACCE，则2222-(10-)-(6-)abab，解得31655ab因为2222223161616916-()(b3)5525255abbb不用具体算出来，当b=3时，有最大值即22ADab取最大，此时△ABC为等腰三角形，易知AB=5，BD=3，AE=4方法2：海伦－秦九韶公式，如果你记得住的话：()()(),2abcSPpapbpcp令AB=x，则AC=10x，由题知P=8，则828(86)(8)(2)4(8)(2)4122xxSxxxx（也可以用配方法）【训练题】1、如图，O是△ABC的，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（）A、EF＞AE+BFB、EF＜AE+BFC、EF=AE+BFD、EF≤AE+BF2、已知，如图，点E是△ABC的内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连接BD、DC、EC，则图中与BD相等的线段分别是____________________3、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=___________EDOABCDEBCAPDCAB圆重、难点突破第4页共7页4、如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__________5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O、I分别为△ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI的值为_______________6、如图，△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI。若AC=9，BC=7，则AB=_______7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，那么当点P在AB上从点A运动到点B时，I所经过的路径长为_______________8、如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于D、E两点，过B点的切线交OE的延长线于点F，连结FD，则下列结论：①DEBE；②FD是⊙O的切线；③∠C=∠DFB；④E为△BDF的内心。其中一定成立的个数有_______________。A、①②③B、①②④C、①③④D、②③IOCBAFEDOBCAFDEICOABFEODABCIOABCIHBAOP圆重、难点突破第5页共7页提示：角的转换要灵活9、如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI。下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④IFRAE为定值，其中正确的结论有（）A、①③④B、①②③C、①②③④D、①②④提示：参考例1解法10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是直径，I为△ABC的内心，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，IM⊥BC于M。则下列结论：①EF⊥AD；②2ABACBCAI；③12()2ADIMBC，其中正确的是__________提示：①是对的11、下列列说法：①如图1，扇形OAB的圆心角∠AOB=90°，OA=6，点C是AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于D，作CE⊥OB于E，连接DE，点G在线段DE上，且DG＝13DE，连接CG。当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，长度不变的是DG；②如图2，正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心O在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点A于点H重合，且EH切⊙O于点H，延长FH交CD边于点G，则HG的长为193；③已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则其内心和外心之间的距离是5cm；其中正确的有___________（请写序号，少选，错选均不得分）MEIFDBOCAGHCDBAFECBA圆重、难点突破第6页共7页12、已知，如图：在平面直角坐标系中，点D是直线yx上一点，过O、D两点的圆⊙1O分别交x轴、y轴于点A和B。（1）当A（-12，0），B（0，-5）时，求1O的坐标；（2）在（1）的条件下，过点A作⊙1O的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标；（3）若点D的横坐标为72，点I为△ABO的内心，IE⊥AB于E，当过O、D两点的⊙1O的大小发生变化时，其结论：AEBE的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围；yxy=-xDO1BAOyxy=-xCDO1BAOyxEIDO1BAO圆重、难点突破第7页共7页