高中函数专题讲义

函数讲义一、考试内容映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数的应用举例。二、主要内容1.函数的单调性单一函数：（1）设2121,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.复合函数：如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数;如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．若函数)(xfy是偶函数，则ƒ(x)=ƒ(-x),若函数)(xfy是奇函数，则ƒ(x)=-ƒ(-x)注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.对称性对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax。若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称;若)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.3.多项式函数110()nnnnPxaxaxa的奇偶性多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数()yfx的图象的对称性(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax(2)()faxfx.(2)函数()yfx的图象关于直线2abx对称()()famxfbmx()()fabmxfmx.4.两个函数图象的对称性(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.(2)函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线2abxm对称.(3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称.25.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.5.互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1.27.若函数)(bkxfy存在反函数,则其反函数为])([11bxfky,并不是)([1bkxfy,而函数)([1bkxfy是])([1bxfky的反函数.6.几个常见的函数方程(1)正比例函数()fxcx,()()(),(1)fxyfxfyfc.(2)指数函数()xfxa,()()(),(1)0fxyfxfyfa.(3)对数函数()logafxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa.(4)幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf.(5)余弦函数()cosfxx,正弦函数()singxx，()()()()()fxyfxfygxgy，0()(0)1,lim1xgxfx.7.几个函数方程的周期(约定a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)(()(1)(xfxfaxf，或1()()fxafx(()0)fx,或21()()(),(()0,1)2fxfxfxafx,则)(xf的周期T=2a；(3))0)(()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期T=3a；(4))()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1(()()1,0||2)fafxfxxxa，则)(xf的周期T=4a；(5)()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa,则)(xf的周期T=5a；(6))()()(axfxfaxf，则)(xf的周期T=6a.8.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,,amnN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,,amnN，且1n）.9.根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.10.有理指数幂的运算性质(1)(0,,)rsrsaaaarsQ.(2)()(0,,)rsrsaaarsQ.(3)()(0,0,)rrrabababrQ.注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,,0mn,且1m,1n,0N).11.对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR.注：设函数)0)((log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.12.对数换底不等式及其推论若0a,0b,0x,1xa,则函数log()axybx(1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.(2)(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.三、主要问题1、定义域普通函数1．函数的定义域是R，则k的取值范围是（）。A、k≤0或k≥1B、k≥1C、0≤k≤1D、0k≤12．函数)(xf=)13(x+)21(x+4，则x的取值范围是__________3．函数)(xf=)352(21logxxx,则x的取值范围是__________4．)(xf=)(1xx,则x的取值范围是__________抽象函数1、若函数y=f(x+1)的定义域是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是（）。A、B、[-1，4]C、[-5，5]D、[-3，7]2、已知函数的定义域为[-1，1]，求ƒ（2x-1）的定义域3、已知)(xf的定义域是[-2，4]，则g(x)=)(xf+ƒ(-x)的定义域是_________________4、已知ƒ（1x）的定义域为[0，3]，求)(xf的定义域与一元二次函数的联系1、)(xf=24123axaaxx的定义域为R，求a得取值范围2、2、)(xf=862mmxmx的定义域为R，求m得取值范围总结：求函数的定义域，就要把含有所求变量的每一个定义域都求出来；注意强化整体意识。2、值域配方法：求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。判别式法：1、求函数22x1xx1y的值域。0x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当y=1时，0x，而23,211故函数的值域为23,21求函数)x2(xxy的值域。∵2x00)x2(xxy21y,0ymin代入方程（1）解得：]2,0[22222x41即当22222x41时，原函数的值域为：]21,0[小tips用判别式法求定义域时，应首先判断自变量的取值范围反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数求函数6x54x3值域。函数有界性法求函数3xsinxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：y3)x(xsin1y2即1yy3)x(xsin2∵Rx∴]1,1[)x(xsin即11yy312解得：42y42换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx2∵43)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1[数形结合法求函数22)8x()2x(y的值域求函数5x4x13x6xy22的值域。3、单调性(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1、根据函数单调性的定义证明函数f(x)=-x3+1在R上是减函数2、若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)0的解集为_3、已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤5},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4、的最小值试求上的单调性在区间讨论131)2(),0(1)()1(xxyxxxf复合函数.322的单调区间求函数xxy.loglog31231的单调区间求函数xxy定义在R+上的函数f(x)满足①f(2)=1，②f(xy)=f(x)+f(y)③当xy时，有f(x)f(y)，如果f(x)+f(x-3)≤2，求x的取值范围．4、奇偶性与周期性1、已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．31a，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝3，b＝02、若)(x，g（x）都是奇函数，2)()(xbgaxf在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－33、f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞