(8.1.1)--高数上—猴博士课堂笔记

笔记前言：本笔记的内容是去掉步骤的概述后，视频的所有内容。本猴觉得，自己的步骤概述写的太啰嗦，大家自己做笔记时，应该每个人都有自己的最舒服最简练的写法，所以没给大家写。再是本猴觉得，不给大家写这个概述的话，大家会记忆的更深，掌握的更好！所以老铁！一定要过呀！不要辜负本猴的心意！~~~【祝逢考必过，心想事成~~~~】【一定能过！！！！！】1高数上第一课一、直接代入型例1：已知f(x)=𝐱𝟐−𝟑𝐱，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟑𝐟(𝐱)。将x=3代入f(x)=x2−3x，得：f(3)=32−33=8∴limx→3f(x)=8例2：已知f(x)=sinx+𝐞𝐱，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝛑𝐟(𝐱)。将x=π代入f(x)=sinx+ex，得：f(π)=sinπ+eπ=eπ∴limx→πf(x)=eπ二、∞∞型例1：已知f(x)=𝟕𝐱𝟖+𝐱𝟔+𝟗𝐱𝟒𝟔𝐱𝟓+𝟒𝐱𝟑+𝟐𝐱，𝐥𝐢𝐦𝐱→∞𝐟(𝐱)=∞f(∞)=7∞8+∞6+9∞46∞5+4∞3+2∞=∞∞2例2：已知f(x)=𝟖𝐱𝟓+𝟒𝐱𝟑+𝐱𝐱𝟗+𝐱𝟑+𝐱，𝐥𝐢𝐦𝐱→∞𝐟(𝐱)=0f(∞)=8∞5+4∞3+∞∞9+∞3+∞=∞∞例3：已知f(x)=𝟓𝐱𝟐−𝟒𝐱+𝟑𝟐𝐱𝟐+𝟔𝐱−𝟏，𝐥𝐢𝐦𝐱→∞𝐟(𝐱)=𝟓𝟐f(∞)=5∞2−4∞+32∞2+6∞−1=∞∞三、𝟎𝟎型例1：已知f(x)=𝐬𝐢𝐧𝐱𝐱，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎𝐟(𝐱)。f(0)=sin00=00limx→0sinxx=limx→0(sinx)′(x)′=limx→0cosx1=cos01=11=1例2：已知f(x)=𝟒𝐱𝐞𝐱−𝟏，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎𝐟(𝐱)。f(0)=4·0e0−1=01−1=00limx→04xex−1=limx→0(4x)′(ex−1)′=limx→04ex=4e0=41=4例3：已知f(x)=𝟏−𝐜𝐨𝐬𝐱𝐱𝟐，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎𝐟(𝐱)。f(0)=1−cos002=1−10=003limx→01−cosxx2=limx→0(1−cosx)′(x2)′=limx→0sinx2x=sin02·0=00limx→0sinx2x=limx→0(sinx)′(2x)′=limx→0cosx2=cos02=12四、底数和指数都有x例1：已知f(x)=(𝟏+𝐱)𝟏𝐱，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎𝐟(𝐱)。limx→0(1+x)1x=limx→0e=e例2：已知f(x)=(𝟏+𝐱−𝟐𝟑)𝟑𝐱−𝟐，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟐𝐟(𝐱)。limx→2(1+x−23)3x−2=limx→2e=e例3：已知f(x)=(𝟏+𝐱)𝟐𝐱，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎𝐟(𝐱)。limx→0(1+x)2x=limx→0[(1+x)1x]2=limx→0[e]2=limx→0e2=e2例4：已知f(x)=(𝟏+𝐱)𝟏𝐱+𝟐，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎𝐟(𝐱)。limx→0(1+x)1x+2=limx→0(1+x)1x·(1+x)2=limx→0e·(1+x)2=e·(1+0)24=e例5：已知f(x)=(𝐱+𝟏𝟑)𝟑𝐱−𝟐，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟐𝐟(𝐱)。limx→2(x+13)3x−2=limx→2(1+x−23)3x−2=limx→2e=e思考题：已知f(x)=(𝐱+𝟏𝟑)𝟐𝐱−𝟏𝐱−𝟐，求𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟐𝐟(𝐱)。5常用求导公式表1高数上第二课一、求左极限、右极限例1：求f(x)={𝐱−𝟐，𝐱𝟎𝐱，𝐱≥𝟎在x=0处的左极限𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎−𝐟(𝐱)与右极限𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎+𝐟(𝐱)。左极限：limx→0−f(x)=−2右极限：limx→0+f(x)=0例2：求f(x)=𝟏𝐱在x=0处的左极限𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎−𝐟(𝐱)与右极限𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎+𝐟(𝐱)。2左极限：limx→0−f(x)=−∞右极限：limx→0+f(x)=+∞例3：求f(x)=𝟏+𝟐𝟏𝐱𝟐+𝟐𝟏𝐱在x=0处的左极限𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎−𝐟(𝐱)与右极限𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎+𝐟(𝐱)。“例2”已经求出：limx→0−1x=−∞，limx→0+1x=+∞左极限：limx→0−f(x)=1+2−∞2+2−∞⇒1+02+0=12右极限：limx→0+f(x)=1+2+∞2+2+∞⇒2+∞2+∞=1二、已知函数表达式，判断是否连续例1：判断f(x)={𝐱−𝟐，𝐱𝟎𝐱，𝐱≥𝟎在x=0处是否连续。3“题型一的例1”已经求出左极限和右极限：左极限limx→0−f(x)=−2右极限limx→0+f(x)=0函数值f(0)=0∵limx→0−f(x)≠limx→0+f(x)∴该函数在x=0处不连续三、已知函数连续，求未知参数例1：已知f(x)={𝐱𝟐+𝐚，𝐱𝟎𝐛，𝐱=𝟎𝐱+𝟏，𝐱𝟎连续，求a、b。间断点：x=0由图像知：左极限limx→0−f(x)=a4右极限limx→0+f(x)=1函数值f(0)=b令a=1=b⇒{a=1b=11高数上第三课一、一般函数求导例1：求y=𝐱𝟑−𝟐𝐱𝟐+𝐬𝐢𝐧𝐱的导数。y′=(x3−2x2+sinx)′=(x3)′−(2x2)′+(sinx)′=3x2−4x+cosx2例2：已知f(x)=𝐬𝐢𝐧𝐱·𝐥𝐧𝐱，求𝐟′(𝐱)。f′(x)=(sinx·lnx)′=(sinx)′·lnx+sinx·(lnx)′=cosx·lnx+sinx·1x例3：已知y=𝐥𝐧(𝐬𝐢𝐧𝐱)，求𝐝𝐲𝐝𝐱。dydx=[ln(sinx)]′=1sinx·(sinx)′=cosxsinx二、隐函数求导例1：已知函数y=y(x)且ylny=xlnx，求𝐲′。(ylny)′=(xlnx)′y′·lny+y·(lny)′=x′·lnx+x·(lnx)′y′·lny+y·1y·y′=1·lnx+x·1xy′·lny+y′=lnx+1y′·(1+lny)=lnx+1y′=lnx+1lny+13三、底数、指数均含未知数的函数求导例1：已知函数y=f(x)且𝐲𝐲=𝐱𝐱，求𝐲′。lnyy=lnxxylny=xlnx(ylny)′=(xlnx)′y′·lny+y·(lny)′=x′·lnx+x·(lnx)′y′·lny+y·1y·y′=1·lnx+x·1xy′·lny+y′=lnx+1y′·(1+lny)=lnx+1y′=lnx+1lny+1四、参数方程求导例1：求曲线{𝐱=𝐭−𝐬𝐢𝐧𝐭𝐲=𝟏−𝐜𝐨𝐬𝐭在t=𝛑𝟐处的导数𝐝𝐲𝐝𝐱。dxdt=(t−sint)t′=1−costdydt=(1−cost)t′=sintdydx=sint1−cost当t=π2时，dydx=sinπ21−cosπ2=11−0=14五、已知函数连续可导，求未知参数例1：求a、b的值，使函数f(x)={𝐚𝐱+𝐛，𝐱𝟏𝟏𝟐(𝐚+𝐛+𝟏)，𝐱=𝟏𝐱𝟐，𝐱𝟏在任意点处连续可导。间断点：x=1将x=1代入{ax+b12(a+b+1)x2⇒{a+b12(a+b+1)1x1时，f(x)=ax+b，f′(x)=ax1时，f(x)=x2，f′(x)=2x将x=1代入{a2x⇒{a2{a+b=12(a+b+1)=1a=2⇒{a=2b=−1六、已知导数值，求极限例1：已知𝐟′(𝐱𝟎)=m，求𝐥𝐢𝐦∆𝐱→𝟎𝐟(𝐱𝟎+𝟑∆𝐱)−𝐟(𝐱𝟎)∆𝐱。lim∆x→0f(x0+3∆x)−f(x0)∆x=lim∆x→0f(x0+3∆x)−f(x0)∆x·13·3=lim∆x→0f(x0+3∆x)−f(x0)3∆x·3lim∆x→0f(x0+3∆x)−f(x0)∆x=lim∆x→0f(x0+3∆x)−f(x0)3∆x·3=f′(x0)·3=lim∆x→0m·3=3m5例2：已知𝐟′(𝐱𝟎)=a，求𝐥𝐢𝐦𝐡→𝟎𝐟(𝐱𝟎−𝟐𝐡)−𝐟(𝐱𝟎−𝐡)𝐡。limh→0f(x0−2h)−f(x0−h)h=limh→0f(x0−2h)−f(x0−h)−f(x0)+f(x0)h=limh→0f(x0−2h)−f(x0)−f(x0−h)+f(x0)h=limh→0f(x0−2h)−f(x0)−[f(x0−h)−f(x0)]h=limh→0f(x0−2h)−f(x0)h−limh→0f(x0−h)−f(x0)hlimh→0f(x0−2h)−f(x0−h)h=limh→0f(x0−2h)−f(x0)h−limh→0f(x0−h)−f(x0)h=limh→0f(x0−2h)−f(x0)h·1−2·(-2)−limh→0f(x0−h)−f(x0)h·1−1·(-1)=limh→0f(x0−2h)−f(x0)−2h·(−2)−limh→0f(x0−h)−f(x0)−h·(−1)limh→0f(x0−2h)−f(x0−h)h=limh→0f(x0−2h)−f(x0)−2h·(−2)−limh→0f(x0−h)−f(x0)−h·(−1)=limh→0a·(−2)−limh→0a·(−1)=−2a−(−a)=−a1高数上第四课一、用罗尔中值定理证明等式例1：设𝐟(𝐱)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导，且𝐟(𝟏)=0，试证明至少有一个点𝛏𝛜(𝟎,𝟏)，使𝐟′(ξ)=−𝟐𝐟(𝛏)𝛏。f′(ξ)=−2f(ξ)ξ⇒f′(x)=−2f(x)x⇒2xf(x)+f′(x)=02xf(x)+f′(x)=0{f(x)前x的次方数：−1f′(x)前x的次方数：0x·[2xf(x)+f′(x)]=x·0⇒2f(x)+xf′(x)=0{a=2C=0F′(x)=x2−1[2f(x)+xf′(x)+0]=2xf(x)+x2f′(x)F(x)=x2·f(x)+02x2=x2f(x)F(0)=02·f(0)=0F(1)=12·f(1)=0F(0)=F(1)F(x)在(0,1)上满足罗尔中值定理，则至少有一点ξϵ(0,1)满足F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=0，可推出f′(ξ)=−2f(ξ)ξ，原等式得证。2例2：设𝐟(𝐱)在(a,b)上连续可导，证明存在一点𝛏𝛜(𝐚,𝐛)，满足𝐛𝐟(𝐛)−𝐚𝐟(𝐚)𝐛−𝐚=𝐟(ξ)+ξ𝐟′(ξ)。bf(b)−af(a)b−a=f(ξ)+ξf′(ξ)bf(b)−af(a)b−a=f(x)+xf′(x)⇒f(x)+xf′(x)−bf(b)−af(a)b−a=0f(x)+xf′(x)−bf(b)−af(a)b−a=0{f(x)前x的次方数：0f′(x)前x的次方数：1f(x)+xf′(x)−bf(b)−af(a)b−a=0{a=1C=−bf(b)−af(a)b−aF′(x)=x1−1[1f(x)+xf′(x)−bf(b)−af(a)b−a]=f(x)+xf′(x)−bf(b)−af(a)b−aF(x)=x1f(x)+−bf(b)−af(a)b−a1·x1=xf(x)−bf(b)−af(a)b−a·xF(a)=af(a)−bf(b)−af(a)b−a·a=ab[f(a)−f(b)]b−aF(b)=bf(b)−bf(b)−af(a)b−a·b=ab[f(a)−f(b)]b−aF(a)=F(b)F(x)在(a,b)上满足罗尔中值定理，则至少有一点ξϵ(a,b)满足F′(x)=f(x)+xf′(x)−bf(b)−af(a)b−a=0，可推出bf(b)−af(a)b−a=f(ξ)+ξf′(ξ)，原等式得证。3二、用拉格朗日中值定理证明关于𝐟(𝐱𝟐)−𝐟(𝐱𝟏)𝐱𝟐−𝐱𝟏的不等式例1：利用拉格朗日中值定理证明