角的相关概念-教师版

1/21同步课程˙角的相关概念角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1)如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.注意：由角的定义可知：⑴角的组成部分为：两条边和一个顶点；⑵顶点是这两条边的交点；⑶角的两条边是射线，是无限延伸的.⑷射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。一、角的表示方法①利用三个大写字母来表示，如图1.1．注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA，但不能写成BAO或ABO等．②利用一个大写字母来表示，如图1.2．AOB图1.1OBA角的相关概念知识回顾知识讲解2/21同步课程˙角的相关概念注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③用数字来表示角，如图2.1．④用希腊字母来表示角，如图2.2．二、单位换算1度＝60分(160)1分=60秒(160)三、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度．分．秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1．角度之间的关系1周角=3601平角＝1801直角＝901周角＝2平角1平角＝2直角（3）角的分类：锐角（090），直角（90），钝角（90180）．四、两角的和．差．倍．分A图1.2A1图2.11α图2.2α3/21同步课程˙角的相关概念（1）两角的和．差．倍．分的度数等于它们的度数的和．差．倍．分.（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？五、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于AB、两点；（2）分别以A．B两点为圆心，以大于12AB长为半径画弧，画弧交于C点；（3）过C点作射线OC。所以，射线OC就是所求作的。六、余角．补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.（3）补角．余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.七、方位角方位角一般以正北．正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东度”．“北偏西度”．“南偏东度”．“南偏西度”，方位角的取值范围0900.“北偏东45度”为东北方向．“北偏西45度”西北方向．“南偏东45度”为东南方向．“南偏西45度”为西南方向.八、钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度；分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。OCBA4/21同步课程˙角的相关概念【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．【解析】略【答案】公共端点公共端点绕端点旋转而得到的图形【例2】下列语句正确的是（）①角的大小与边的长短无关。②如果一个角能用一个大写字母A表示，那么以A为顶点的角只有一个③如果一个角能表示为1，那么以1顶点为顶点的角只有一个。④两条射线组成的图形叫做角A①．②B①．③C①．④D②．③【解析】略【答案】A【例3】如图，角的顶点是，边是，用三种方法表示该角分别为．【解析】略【答案】O；OA，OB；AOB，，O．【巩固1】在右图中，角的表示方法正确的是（）A．AB．BC．CD．D【解析】本题考查用一个大写英文字母表示角，本题选B．【答案】BBAO同步练习5/21同步课程˙角的相关概念【巩固2】如图，以B为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D为顶点的角呢?【解析】略【答案】以B为顶点的角有3个：ABE，ABC，EBC以D为顶点的角有4个：ADE，ADB，BDC，CDE【例4】下图中，以A为顶点的角是_________。有一边与射线FD在同一条直线上的角有__________个。【解析】按照约定，我们讨论的角都是小于平角的角。【答案】以A为顶点的角有：BAEBADEAD，，；一边与射线FD在同一条直线上的角有10个【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30的角，这个角就变成了60．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．【解析】略【答案】×；×；×；×；×．一、角的分类【例6】下列语句正确的是（）A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线C．小于平角的角是钝角D．一周角等于四个直角【解析】答题时首先理解角的概念，然后对各选项进行判断．DCEBAHGFEDCBA6/21同步课程˙角的相关概念【答案】平角是一个点和两条射线组成，故A错误，角度和射线不是同一个概念，故B错误，小于平角的角不一定是钝角，故C错误，一周角等于360°，一直角等于90°，故D正确，故选D．【点评】本题主要考查角的概念，不是很难．【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【解析】根据三角形的性质及平角的概念结合图形解答．【答案】图中角除∠BDC为平角外，∠B．∠C．∠BAD．∠BAC．∠DAC．∠BDA．∠CDA均为小于180°的角．共七个．故选D．【点评】先利用三角形的性质，确定三角形的每个内角都小于180°，再根据角的定义数出角的个数即可．但要注意顶点为A的角有3个．【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A．4个B．7个C．9个D．10个【解析】当AO为角的一边时，有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所有小于平角的角．【答案】小于平角的角为：∠AOC．∠AOD．∠AOE．∠COD．∠COE．∠COB．∠DOE．∠DOB．∠EOB共9个，故选C．【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．DCBA7/21同步课程˙角的相关概念【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A．10个B．15个C．20个D．25个【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示．【答案】在该题中，以A、B、D、E为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用一个大写字母表示；以F、G、H、M、N为顶点的角各有四个，共计4×5=20个，而该顶点处只有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示．故选C．【点评】此题不仅考查了对角的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的所有角，做到不漏数．不多数．【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．A．4，3B．3，2C．6，3D．4，2【解析】根据直角．锐角．钝角的概念来解．∠CAE=90°，通过角的运算，得出结果．【答案】∵∠CAE=90°，∴∠FAB+∠BAC=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠FAB＜90°，∠BAC＜90°，∠CAD＜90°，∠DAE＜90°，锐角有四个，∴∠FAD＞90°，∠BAE＞90°，故钝角至少有两个，∠BAD不能确定．故选D．【点评】本题关键是要做到不重复不遗漏的数出角的数量，同时一定要注意∠BAD不能确定，故不能计算在内．二、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________（2）654312_____【解析】（1）首先在第一个空上填上32，然后计算(32.4332)0.43，0.430.436025.8，25.8250.8，0.8604832.43322548（2）这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，12600.2，430.243.2，43.2600.72，65431265.72．HNMFGEDCBA8/21同步课程˙角的相关概念【答案】（1）322548；（2）65.72【巩固】（1）51492421________；（2）39412445__________；（3）2313423_________；（4）12134________．【解析】（1）5149242175707610；（2）394124453810124451456；（3）231342369416；（4）121343315【答案】（1）7610；（2）1456；（3）69416；（4）3315【例12】（1）2020'4______。（2）4437'3______【解析】（1）原式8080'8120'（2）先将度．分．秒的量数都化成3的倍数：4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''【答案】（1）8120'；（2）1452'20''【巩固】（1）77423445______；（2）108185623_______；（3）180(34542133)_______；（4）23295837______；（5）513932532______；（6）13533157435______（7）57.32_________；（8）122342_______【解析】（1）7742344511227；（2）1081856235155；（3）180(34542133)12333；（4）23295837812937；（5）513932532193328；（6）13533157435731136；（7）57.32571912；（8）12234212.395【答案】（1）11227；（2）5155；（3）12333；（4）812937；（5）193328；（6）731136；（7）571912（8）12.395【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A．4个B．7个C．11个D．16个【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515，而其它角都是15的倍数．所以在小于平角的范围内，能画出确定度数的角有153045607590105120135150165，，，，，，，，，，共11个，故选C．【答案】C【例14】如右图，AOB是直线，1:2:31:3:2，求DOB的度数．【解析】设1x，23x，32x，根据题意有32180xxx，30x，120DOB．【答案】1209/21同步