函数的概念知识点总结(含例题和答案)

第1页共5页函数的概念总结一、知识梳理1．映射的概念：设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则(3)函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。二、考点分析考点1：映射的概念例1．（1）AR，{|0}Byy，:||fxyx；（2）*{|2,}AxxxN，|0,ByyyN，2:22fxyxx；（3）{|0}Axx，{|}ByyR，:fxyx．上述三个对应是A到B的映射．BA、fABABBAf:BA、fAxBABAxxfy),(Axxfy),(xxA)(xfyxyAxxf)()(xfy第2页共5页例2．若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个例3．设集合{1,0,1}M，{2,1,0,1,2}N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象()fx的和都为奇数，则映射f的个数是（）()A8个()B12个()C16个()D18个答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D考点2：判断两函数是否为同一个函数方法总结：看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（n∈N*）；（4），；（5），[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例1．已知二次函数满足，求例2．（09湖北改编）已知=，则的解析式可取为题型2：求抽象函数解析式例1：已知函数满足，求:2)(xxf33)(xxgxxxf)(;01,01)(xxxg1212)(nnxxf1212)()(nnxxgxxf)(1xxxxg2)(12)(2xxxf12)(2tttg)]([xgf)(xf)(xf564)12(2xxxf)(xf)11(xxf2211xx)(xf)(xfxxfxf3)1(2)()(xf第3页共5页考点4：求函数的定义域基本初等函数包含：指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数。题型1：求有解析式的函数的定义域方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例1.（08年湖北）函数的定义域为()A.;B.；C.;D.答案：题型2：求复合函数和抽象函数的定义域例1．（2007·湖北）设，则的定义域为（）A.；B.；C.；D.答案：B.例2．已知函数的定义域为，求的定义域例3．已知的定义域是，求函数的定义域例4．已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域(-3x-1)x)(xf)4323ln(122xxxxx),2[)4,()1,0()0,4(]1,0()0,4[,)1,0()0,4[,Dxxxf22lgxfxf224,00,44,11,42,11,24,22,4)(xfy][ba，)2(xfy)2(xfy][ba，)(xfy第4页共5页考点5：求函数的值域1.求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。（－48）（9）对勾函数法像y=x+kx，（k0）的函数，k0就是单调函数了yOxkk4cos2sin2xxy2)1(cos4cos2sin22xxxy)32(log221xxyuy21log322xxu22122xxxy]2133,2133[1cos3cos2xxy432xxy])2,1[(2224xxxy第5页共5页2.求值域的三种模型：（1）如4yxx，求①单调区间②x的范围[3,5]，求值域③x[-1,0)(0,4],求值域（2）如44yxx，求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）（3）如123yxx，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间