2014-2017全国高中数学联赛各地预赛数列试题精选

2014年——2017年全国高中数学联赛各省预赛中数列试题集萃（2017天津）2.已知等差数列{}na的公差不为零，且239,,aaa构成等比数列，则456234aaaaaa_____.（2017天津）8.已知数列{}na是首项为1，公比为2的等比数列，{}nb是首项为2，公差为5的等差数列.同时出现在这两个数列中的数从小到大顺序排列成数列{}nx，则100x________.（2017天津）14.如果整数2n，证明：23111(1)(1)(1)2222n.（2017河北）6.设201720172016201501220162017(1)xaxaxaxaxa，则505431kka的值为_____.（2017河北）9.前n项和为nS的正项数列{}na满足：2*243()nnnaaSnN.（I）求数列{}na的通项公式.（II）求证：1231111(1)(1)(1)(1)2nnaaaaa.（2017山西）4.将全体正整数从小到大排列，然后取第一个数为1a，取后续两数和为2a，再取后续三数和为3a，以此类推，得到数列1234{}:1,23,456,78910naaaaa……。则数列{}na的前20项和20S_____________.（2017辽宁）3.数列{}na满足：0111134,150,(1,2,1)kkkkaaaakna，若0na，则n为_______.（2017辽宁）14.如果对于任意的非负整数n，1cos(2)3n都成立，求实数.（2017福建）3．已知na为等比数列，且120171aa，若22()1fxx，则1232017()()()()fafafafa。（2017福建）11．若数列na中的相邻两项na、1na是关于x的方程20nxnxc（n1，2，3，…）的两个实根，且11a。（1）求数列na的通项公式；（2）设21nnbc，求数列nb的通项公式及nb的前n项的和nT。（必要时，可以利用：2222(1)(21)1236nnnn）（2017江西）1.化简：11111221233234432016201720172016______.（2017江西）7.将全体真分数排成这样的一个数列112123{}:,,,,,,233444na，其排序方法是：自左至右，先将分母从小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子从小到大排列，则其第2017项2017a___________.（2017江西）8.将各位数字和为10的全体正整数按从小到大的顺序排成一个数列，若2017na，则n___________.（2017江西）9.数列{}na，{}nb满足：11111,2,(1)nnnnnnabaabbabn.证明：（1）2122122,2;nnnnaabb（2）1122nnnnaabb.（2017湖北）2.已知正项等比数列{}na满足65432149,aaaaaa则987aaa的最小值为______.（2017湖北）10.将与70互素的所有正整数从小到大排成数列，则这个数列的第2017项为_______.（2017湖北）13.已知函数()|sin|,fxxxR.（1）证明：1sin1()(1)2cos2fxfx.（2）证明：对任意的正整数n，有()(1)(31)sin11312fnfnfnnnn.（2017湖北）13.（高一）记数列{}na的前n项和为*()nSnN，其中112,()2,nnnnnann为偶数为奇数.（1）求nS；（2）若(2017,2016)，求nS取得最小值时对应的n的值.（2017四川）6.已知数列{}na满足：(21)(21)()nnnanN，用[]x表示不超过实数x的最大整数，则2017[]a的个位数字是______________.（2017四川）7.已知函数25()255xxfx，则20161()2017kkf_____________.（2017四川）13.已知数列{}na满足：*1158,()1nnnaaaanNa.（1）若3a，求数列{}na的通项公式.（2）若对任意的正整数n，都有3na，求实数a的取值范围.（2017陕西）1.已知数列{}na的前n项和2*1()nSnnN，则13579aaaaa等于________.（2017甘肃）13.已知数列{}na的前n项和为nS，且满足11a，21()(2)2nnnSaSn.（I）求nS的表达式；（II）设21nnSbn，数列{}nb的前n项和为nT，证明：12nT.（2017江苏）9.设数列1221,,,aaa满足1||1(1,2,,20)nnaan，1721,,aaa成等比数列.若1211,9,aa则满足条件的不同数列的个数为_____________.（2017江苏）11.设数列{}na满足：2*1111,0,,1nnnnnaaaanNna.求证：（1）数列{}na是递增数列；（2）对任意的正整数n，111nnkak.（2017贵州）8.等差数列{}na中，对任意的正整数n，均有1223622nnnaaan，则2017a_______.（2017贵州）13.在正项等比数列{}na中，存在两项,mnaa，使得18mnaaa，且9872aaa，则11mn的最小值为___________.（2017贵州）16.已知数列{}na满足：*22()21nnnanN，记11,nnniniiiAaBa.求证：(1)(2)232nnnnAB为定值.（2017安徽）1.在不大于2017的正整数中，共有_________个数可被12整除但不能被20整除.（2017安徽）12.设数列{},{},{}nnnabc满足：*111||,||,||,nnnnnnnnnabcbcacabnN证明：对任意正整数,,abc，存在正整数k，使得111,,kkkkkkaabbcc.（2017浙江）11、设221116()32,()(),1,2,3nnfxxfxxfxn.对每个n，求()3nfxx的实数解.（2017浙江）13、设数列{}na满足：1|2|2,||2,1,2,3,nnnaaan证明：如果1a为有理数，则从某项后{}na为周期数列.（2017湖南）7．已知函数fx满足fmnfmfn，13f，则22122413ffffff22364857ffffff．（2017湖南）10．对正整数n，定义!1221nnnn，记12!12!3!1!nnSnn，则2017S．（2017湖南）14．已知数列na满足12a，211nnnSaS（*nN），其中nS为na的前n项和.（1）求证：11nS为等差数列；（2）若对任意的n，均有12111nSSSkn，试求k的最大值.（2017新疆）3.在数列{}na中，对15n，有2nan，且对一切正整数n，都有514nnnnaaaa则2023a_____________.（2017全国）8.设两个严格单调递增的正整数数列{},{}nnab满足：10102017ab，对任意的正整数n，有211,2nnnnnaaabb，则11ab的所有可能值为__________.（2017内蒙古）1.设等比数列{}na的公比为t，前n项和*0()nSnN，则t的取值范围为________.（2017内蒙古）11.已知各项全不为零的数列{}na的前n项和为nS，且*111(),1.2nnnSaanNa（I）求数列{}na的通项公式.（II）对任意给定的正整数(2)nn，数列{}nb满足11(1,2,,1)kknbknknba，11,b求12nbbb.（2017上海）2.数列{}na是递增数列，且满足2211111,8118()2,1,2,nnnnnnaaaaaaan，则数列{}na的通项公式为_____________.（2017上海）9.已知数列{}na的各项均为正实数，11a，且对一切正整数n，均有112nnniiaaa.（1）证明：数列{}na的每一个项都是完全平方数；（2）证明:1009|a.（2016天津）15.设()1xfxx，令122113,,()(),1,2,24nnnaaafafan，求证：对任何的正整数,n有1222(32)(32)nnnfaf.（2016河北）8.数列{}na满足113a，且对于任意*nN，21nnnaaa，则2016111nna的整数部分是_________________.（2016河北）12.设nS为数列{}na的前n项和，且*12121214,(0,)21nnSaaaccnNSa.（I）求数列{}na的通项公式；（II）令3lognnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT.（2016山西）3.设n为正整数，使3介于34,1nnnn之间，则n____________.（2016山西）8.设22()31kkkakN，令019019,AaaaBaaa，则AB________.（2016山西）11.已知在正整数n的各位数字中，共还有1a个1，2a个2，……na个n.证明：91223101aaan，并确定等号成立的条件.（2016辽宁）10.已知数列{}na共有100项，满足110010,475,||5(1,2,,99)kkaaaak，则符合条件的不同的数列共有___________个.（2016辽宁）12.已知数列{}na满足210121,nnnaaaakn，其中k为正整数.若对于所有的*nN，恒有1na，求k的取值范围.（2016吉林）9．在公差不为0的等差数列na中，410a，且3a，6a，10a成等比数列.则数列na的通项公式为___________________．（2016山东）12.求证不等式：*1231sinsincos()nNnnnn.（2016山东）13.数列{x}n满足：2*110,521,nnnxxxxnN.证明：在122016,,,xxx中，至少存在672个无理数.（2016福建）11．已知数列na的前n项和22nnSa（*nN）。（1）求na的通项公式na；（2）设11(1)nnbann，nT是数列nb的前n项和，求正整数k，使得对任意*nN均有knTT；（3）设11(1)(1)nnnnacaa，nR是数列nc的前n项和，若对任意*nN均有nR成立，求的最小值。（2016江西）5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是．答案：134．（2016河南）6.定义数列{}:nnaa为12n的末位数字，nS为数列{}na的前n项之和，则2016S_________.（2016河南）12.定义数列{}na：12111,4,1(2)nnnaaaaan.（1）求证：{}na为整数数列；（2）求证：121(1)nnaan为完全平方数.（2016湖北）12.已知定义在R上的函数()fx满足：10(1)3f，且对任意实数,xy恒有()()()(