(完整版)初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算

-1-初高中数学衔接知识点专题（一）★专题一数与式的运算【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即||a．[2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示的距离．[4]两个绝对值不等式:||(0)xaa；||(0)xaa．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1]2()abc[公式2]33ab(立方和公式)[公式3]33ab(立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”．3．根式[1]式子(0)aa叫做二次根式，其性质如下：(1)2()a；(2)2a；(3)ab；(4)ba．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做a的平方根，记作(0)xaa，其中a(0)a叫做a的算术平方根．[3]立方根的概念：叫做a的立方根，记为3xa4．分式[1]分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：（1）；（2）．[2]繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2mnpmnp，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】-2-例1解下列不等式：（1）21x（2）13xx＞4．例2计算：（1）221(2)3xx（2）2211111()()5225104mnmmnn（3）42(2)(2)(416)aaaa（4）22222(2)()xxyyxxyy例3已知2310xx，求331xx的值．例4已知0abc，求111111()()()abcbccaab的值．例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）323（2）22(1)(2)(1)xxx（3）11ab（4）3282xxx例6设2323,2323xy，求33xy的值．-3-例7化简：（1）11xxxxx（2）222396127962xxxxxxxx（1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)xxxxxxxxxxxxxxx22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)xxxxxxxxxx说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1．解不等式327xx2．设11,3232xy，求代数式22xxyyxy的值．3．当22320(0,0)aabbab，求22ababbaab的值．4．设512x，求4221xxx的值．5．计算()()()()xyzxyzxyzxyz-4-6．化简或计算：(1)113(184)2323(2)22122(25)352(3)2xxxyxxyyxyyxxyy(4)()()babababaababbabaab●各专题参考答案●-5-13ABx04CDxP|x－1||x－3|图1．1－1专题一数与式的运算参考答案例1（1）解法1：由20x，得2x；①若2x，不等式可变为21x，即3x；②若2x，不等式可变为(2)1x，即21x，解得：1x．综上所述，原不等式的解为13x．解法2：2x表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x．解法3：2112113xxx，所以原不等式的解为13x．（2）解法一：由10x，得1x；由30x，得3x；①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．解法二：如图，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式13xx＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．所以原不等式的解为x＜0，或x＞4．例2（1）解：原式=221[(2)]3xx222222111()(2)()2(2)22(2)333xxxxxx432822122339xxxx说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．（2）原式=33331111()()521258mnmn（3）原式=24222336(4)(44)()464aaaaa（4）原式=2222222()()[()()]xyxxyyxyxxyy3326336()2xyxxyy例3解：2310xx0x13xx原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18xxxxxxxx例4解：0,,,abcabcbcacab原式=bcacababcbcacab222()()()aabbccabcbcacababc①33223()[()3](3)3ababababccabcabc3333abcabc②，把②代入①得原式=33abcabc例5解：（1）原式=23(23)3(23)63323(23)(23)（2）原式=(1)(2)23(2)|1||2|(1)(2)1(1x2)xxxxxxxx说明：注意性质2||aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．-6-（3）原式=22ababababab（4）原式=2222222223222xxxxxxxxxxx例6解：2223(23)743,74314,12323xyxyxy原式=2222()()()[()3]14(143)2702xyxxyyxyxyxy说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．【巩固练习】1．43x2．13363．3或24．355．444222222222xyzxyxzyz6．4313,2,3,43xybay