高中数学必修5模块期末综合测试卷一(人教A版)

1高中数学必修5模块期末综合测试卷一(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为()A.5＋12B.5－12C.1－52D.122．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．93．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是－12，13，则a＋b的值是()A．10B．－10C．－14D．144．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2009的值是()A．20092B．2008×2007C．2009×2010D．2008×20095．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π36．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．427．若变量x，y满足约束条件y≤1，x＋y≥0，x－y－2≤0，则z＝x－2y的最大值为()A．4B．3C．2D．18．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)9．下列命题正确的是()A．a，b∈R，且a＞b，则a2＞b2B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．a，b∈R，且ab≠0，则ab＋ba≥2D．a，b∈R，且a＞|b|，则an＞bn(n∈N*)210．在△ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC的面积是()A.154B.1543C.2143D.354311．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝()A．35B．33C．31D．2912．已知x，y∈R＋，2x＋y＝2，c＝xy，那么c的最大值为()A．1B.12C.22D.14二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.14．不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．15．设x，y满足约束条件2x－y＋2≥0，8x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．16．设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是______．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A，B，C，D在同一平面上)测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)．假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A、B两地之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线(精确到0.1m)？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)318．(本小题满分12分)已知关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋(3＋a－2a2)0的解集中的一个元素为0，求实数a的取值范围，并用a表示该不等式的解集．19．(本小题满分12分)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.20．(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为72m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？421．(本小题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(百元)空调机洗衣机月资金供应量(百元)成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？22．(本小题满分14分)设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.5高中数学必修5模块期末综合测试卷一（答案）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：设最小内角为α，则sinα，cosα，1成等比数列，所以1－sin2α＝sinα，解得sinα＝5－12或sinα＝－5－12(舍)．答案：B2．解析：a4＋a6＝2a5＝－6∴a5＝－3∴d＝a5－a15－1＝2∴Sn＝－11n＋nn－12·2＝n2－12n故n＝6时Sn取最小值．答案：A3．解析：不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是－12，13，即方程ax2＋bx＋2＝0的解为x＝－12或13，故－12＋13＝－ba，－12×13＝2a.解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.答案：C4．解析：由已知an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，a4－a3＝2×3，…，an－an－1＝2×(n－1)，以上各式两端分别相加得：an－a1＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，6即an＝n(n－1)∴a2009＝2008×2009.答案：D5．解析：由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB．由已知，得2accosB·sinBcosB＝3ac，即sinB＝32，又B是三角形的内角，所以B＝π3或2π3.故选D.答案：D6．解析：a7·a8·a9a1·a2·a3＝q18＝2，∴q9＝2，a4·a5·a6＝(a1·a2·a3)·q9＝52.答案：A7．解析：作出可行域如图所示目标函数y＝12x－12z过点A(1，－1)时zmax＝3答案：B8．解析：易知X，Y－X，Z－Y成等比数列∴(Y－X)2＝X(Z－Y)化简可得Y(Y－X)＝X(Z－X)．答案：D9．解析：a＞|b|≥0，故an＞bn.答案：D10．解析：由题可知a＝b＋2，b＝c＋2，7∴a＝c＋4.∵sinA＝32，∴A＝120°.又cosA＝cos120°＝b2＋c2－a22bc＝c＋22＋c2－c＋422cc＋2＝c2－4c－122cc＋2＝－12，整理得c2－c－6＝0，∴c＝3(c＝－2舍去)，从而b＝5，∴S△ABC＝12bcsinA＝1543.故选B.答案：B11．解析：设公比为q，由题意知a2·a3＝a12q3＝2a1a4＋2a7＝a1q3＋2a1q6＝52即a1q3＝2a1q3＋2a1·q3·q3＝52解得q＝12a1＝16，故S5＝16×1－1251－12＝31.答案：C12．解析：由已知，2＝2x＋y≥22xy＝22c，所以c≤12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos∠C，∴(3)2＝a2＋12－2a·1·cos23π，∴a2＋a－2＝0，∴(a＋2)(a－1)＝0∴a＝1答案：114．8解析：不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切x∈R恒成立．若a＋2＝0，则4x－3＞0，显然不恒成立；若a＋2≠0，则a＋2＞0，Δ＜0，即a＋2＞0，42－4a＋2a－1＜0，解得a＞2.答案：(2，＋∞)15．解析：可行域如图所示目标函数y＝－abx＋z∵a＞0，b＞0∴斜率－ab＜0∴直线过A(1,4)时z取到最大值8∴ab＝4∴a＋b≥2ab＝4(当且仅当a＝b＝2时等号成立)∴a＋b的最小值为4.答案：416．解析：由3≤xy2≤8得18≤1xy2≤13①由4≤x2y≤9得16≤x4y2≤81②①×②得2≤x3y4≤27∴最大值为27答案：27三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解析：在△ACD中∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000，∠ACD＝45°，根据正弦定理，得AD＝CDsin45°sin60°＝23CD.在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6000，∠BCD＝30°，根据正弦定理，得BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，9根据勾股定理，得AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝100042，而1.2AB≈7425.6，则实际所需电线长度约为7425.6m.18．解析：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)0，由x＝0，适合不等式，故(0－a－1)(2a－3)0，即(a＋1)(2a－3)0，∴a32或a－1.若a32，则－2a＋3－a＋12＝52(1－a)－54，∴不等式的解集为3－2a，a＋12；若a－1，则－2a＋3－a＋12＝52(1－a)5，∴不等式的解集为a＋12，3－2a.综上，a的取值范围是(－∞，－1)∪32，＋∞.当a32时，不等式的解集为3－2a，a＋12.当a－1时，不等式的解集为a＋12，3－2a.19．解析：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.20．解析：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab＝72，蔬菜的种植面积S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝80－2(a＋2b)≤80－42ab＝32(m2)当且仅当a＝2b，即a＝12，b＝6时，Smax＝32.答：矩形温室的边长为6m,12m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32m2.21．解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x，y台，总利润是z，则z＝6x＋8y10由题意有30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，x≥0，y≥0，x，y均为整数．由图知直线y＝－34x＋18z过M(4,9)时，纵截距最大．这时z也取最大值zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．22．解析：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，当n＝1时，a1＝S1＝2满足上式，故{an}的通项式为an＝4n－2.设{bn}的公比为q，由已知条件b2(a2－a1)＝b1知，b1＝2，b2＝12，所以q＝14，∴bn＝b1qn－1＝2×14n－1，即bn＝24n－1.(2)∵cn＝anbn＝4n－224n－1＝(2n－1)4n－1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝[1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1]．4Tn＝[1×4＋3×42＋5×42＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n]．两式相减得：3T