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第十九讲*几何图形的计数问题在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．例1如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条．所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)．一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2例2图1－66中有多少个三角形？解以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)．说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)．同样，宽的一边上不同的线段也有10条．所以，共有长方形10×10=100(个)．(2)因为长的一边上的10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，宽的一边上的10条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．所以，所有长方形面积和为(5×2+5×6+…+5×3)+(17×2+17×6+…+17×3)+…+(1×2+1×6+…+1×3)=(5+17+…+1)×(2+6+…+3)=144×86=12384．例4图1－68中共有多少个三角形？解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即△ABC)，第二大的三角形有1+2=3(个)，第三大的三角形有1+2+3=6(个)，第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)．我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个．于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)．图中共有三角形59×2=118(个)．例6(1)图1－70(a)中有多少个三角形？(2)图1－70(b)中又有多少个三角形？解(1)图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．(2)图1－70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．图1－70(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)．说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×5÷2=15种．从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题．例7问8条直线最多能把平面分成多少部分？解1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图1－71，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．所以，8条直线最多将平面分成37个部分．说明一般地，n条直线最多将平面分成个部分．例8平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？解1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．所以，5个圆最多将平面分成22个部分．说明用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=2+2［1+2+…+(n-1)］=n2-n+2．例9平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分．现在加入一条直线．由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分．所以，总共增加了10个部分．因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分．例10平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分．现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分．因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分．例11三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？解设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点Pn之后的情况：(1)若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；(2)若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为an=an-1+2．易知a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，…，an＝an-1+2．将上面这些式子相加，得an=2n+1．所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．练习十九1．填空：(1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出______条．(2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_____个．(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_____个．(4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_______．(5)平面上10条直线最多能把平面分成_____个部分．(6)平面上10个圆最多能把平面分成_____个区域．2．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？3．图1－74中有多少个三角形？4．图1－75中有多少个梯形？5．在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？6．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？