泊松过程仿真

1泊松过程仿真一、仿真内容及目的1.1仿真内容首先查阅相关资料，学习如何在仿真环境下对随机过程进行仿真。然后在C语言、MATLAB等环境下，结合泊松过程的相关理论知识，设计算法及程序对泊松过程进行仿真实验。最后对得到的实验结果进行分析。1.2仿真目的利用仿真实验，将泊松过程这一抽象的概念图形化、数字化、具体化，生成样本进行描述分析。加深对泊松过程这一抽象概念的认识和理解，其次掌握如何运用仿真工具对所学的理论知识进行仿真模拟，增强自己的动手能力和自学能力。二、实验原理计数过程定义：设N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数，若N(t)满足下列条件：（1）N(t)0；（2）N(t)取正整数值；（3）若ts,则N(s)N(t)；（4）当ts时，N(s)-N(t)表示区间（s,t]中发生的“事件A”的次数。则称随机过程0}t{N(t),为计数过程。泊松过程定义：一个计数过程0}{N(t),,具有参数0，若它满足下列条件：（1）N(t)=0；（2）N(t)是独立增量过程；（3）在任一长度为t的区间内，事件发生的次数服从参数0的泊松分布，即对任意事件S，0t，有,....1,0,!)(en}N(s)-s)P{N(tt-nntn则称0}t{N(t),为泊松过程。2根据以上定义，令随机变量)1(Tnn表示从第（n-1）次事件发生到第n次事件发生的时间间隔，则可以证明，nT服从互相独立但参数为的相同指数分布。因为只要按照参数产生指数分布的随机时间间隔序列，并计数系统随时间运行的过程中，按这个时间间隔序列对系统状态进行加1计数，则这个计数系统就对应了参数为的泊松过程。三、仿真环境及算法3.1仿真环境C语言、MATLAB2.2仿真算法时间区间为[0,T]，泊松过程的速率为。（1）令当前时刻t=0，泊松事件计数值N=0，使其满足泊松过程定义的第一个条件；（2）在MATLAB中，利用rand()函数生成（0,1）上均匀分布的随机数U，利用逆变换法得到指数分布随机数E，即令)(ln1-EU；（3）令t=t+E，如果tT,则停止；（4）令N=N+1并设ttN；（5）回到第2步。四、仿真结果及分析根据上述算法，我主要在C语言和MATLAB环境下做了仿真。C语言环境下能模拟出泊松过程的数据但不够清晰、直观，所以最后想到在MATLAB环境仿真，将得到的数据图形化，这样便于分析理解。主要仿真如下：4.1C语言环境下这里设置时间区间为（0,10），即T=10，=1。实验结果：3图1：第一次运行结果图2：第二次运行结果结果分析：分别执行两次程序，分别得到两个不同的实验结果，分别如图1，图2所示。由图1可以看出该事件总共发生了13次，发生的时间从小到大分别为：0.756124，1.065722，1.419995，2.923336，4.866784，5.304658，5.310878，5.425449，5.481566，7.207677，7.541941，9.279402，9.499325；同理可以从图2可以知道该事件发生的次数和对应的时间。4.2MATLAB环境下这里设置样本函数1的时间区间为（0,15），=1；样本函数2的时间区间为（0,15），=2。实验结果：4图3：第一次仿真波形图4：第一次仿真结果0510150510152025泊松过程时间t计数过程N(t)样本函数1样本函数25图5：第二次仿真波形图6：第二次仿真结果结果分析：运行两次程序，得到两组数据，图3和图4位第一次运行程序得到的实验结果，图5和图6为第二次运行程序得到的实验结果。图4为泊松过程产生的数据，x1表示样本函数1对应的时间节点，y1为样本函数1的时间节点所对应的事件发生次数；根据图4的样本数据得到图3的波形图，由图中可以看出，整个过程是递增的，并且可以找到每个时间节点所对应的事件发生次数。因为整个过程是随机的，所以我们可以看到图5和图6得到的实验结果和第一次得到的实验结果不大一样，但总体趋势都是递增的。051015051015202530泊松过程时间t计数过程N(t)样本函数1样本函数26五、实验代码C语言代码#includestdio.h#includemath.h#includestdlib.hintmain(){intN=0,T=10;doubleU,E;doublet=0;doublelamda=1.0;printf(时间t%d:%lf,发生的次数N:%d\n,N,t,N);srand((unsigned)time(NULL));//初始化随机数while(1){U=rand()/(RAND_MAX+1.0);E=-(1/lamda)*log(U);t=t+E;if(tT)break;else{N=N+1;printf(时间t%d:%lf,发生的次数N:%d\n,N,t,N);}}return0;}7MATLAB代码%样本函数1lamda1=1.0;T1=15;t1=0;N1=0;x1=[];y1=[];x1(1)=0;y1(1)=0;whilet1T1;U1=rand();E1=-(1/lamda1)*log(U1);t1=t1+E1;if(t1T1)N1=N1+1;x1(N1+1)=t1;y1(N1+1)=N1;endendy1x1%样本函数2lamda2=2.0;T2=15;t2=0;N2=0;x2=[];y2=[];x2(1)=0;y2(1)=0;whilet2T2;U2=rand();E2=-(1/lamda2)*log(U2);t2=t2+E2;if(t2T2)N2=N2+1;x2(N2+1)=t2;y2(N2+1)=N2;endendy2x2stairs(x1,y1,'r-');holdonstairs(x2,y2,'k-');title('泊松过程')xlabel('时间t')ylabel('计数过程N(t)')legend('样本函数1','样本函数2',2)title('泊松过程')xlabel('时间t')ylabel('计数过程N(t)')