点差法整理版

1“点差法”巧解椭圆中点弦题型一、重要结论及证明过程在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.证明：设M、N两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax)2()1(，得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxykMN同理可证，在椭圆12222aybx（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.二、典型例题1、设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足)(21OBOAOP，点N的坐标为21,21.当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）||NP的最大值和最小值.22、在直角坐标系xOy中，经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OQOP与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由.3、已知椭圆12222byax（a＞b＞0）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率22e，右准线方程为2x.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点1F的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且3262||22NFMF，求直线l的方程.34、已知椭圆1:2222byaxC（a＞b＞0）的离心率为33，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点.当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22.（1）求ba,的值；（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.5.椭圆C的中心在原点，并以双曲线12422xy的焦点为焦点，以抛物线yx662的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线)0(2:kkxyl与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线)0(1:'mmxyl对称，求k的值.4“点差法”巧解双曲线中点弦题型二、重要结论及证明过程在双曲线12222byax（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.证明过程和椭圆证法相同（略）同理可证，在双曲线12222bxay（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN.二、典型例题1.已知双曲线1322yx，过点)23,21(P作直线l交双曲线于A、B两点.（1）求弦AB的中点M的轨迹;（2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线l的方程和弦AB的长.2.设A、B是双曲线1222yx上两点，点)2,1(N是线段AB的中点.（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？53、双曲线C的中心在原点，并以椭圆1132522yx的焦点为焦点，以抛物线xy322的准线为右准线.（1）求双曲线C的方程；（2）设直线)0(3:kkxyl与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线)0(6:'mmxyl对称，求k的值.“点差法”巧解抛物线中点弦题型三、重要结论及证明过程（略）在抛物线)0(22mmxy中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则mykMN0.同理可证，在抛物线)0(22mmyx中，若直线l与抛物线相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则mxkMN01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.6二、典型例题1、设),(),,(2211yxByxA两点在抛物线22xy上，l是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（Ⅱ）当3,121xx时，求直线l的方程.（理）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围.2.已知抛物线22xyC：，直线2kxy交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使0NBNA，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.yOxMBNA