圆培优讲义

《圆》培优讲义（一）一、圆的基本概念例：思考：车轮为什么是圆的？否则：试想，如果车轮是方的或者是椭圆的，坐车的人会有什么感觉？例：如图：AB、CB为⊙O的两条弦，试说出图中的所有弧。OABC例：判断对错1、长度相等的两条弧是等弧。2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。3、两个半圆是等弧。4、半径相等的弧是等弧。5、半径相等的两个半圆是等弧。6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。例：下列说法错误的是A、直径相等的两个圆是等圆。B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。D、直径是圆中最长的弦。例：AB为圆O的直径，点C在圆O上，OD//BC。求证：OD是AC的垂直平分线AOBCD例：圆O的半径为5，弦AB//CD，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积。对应练习：1.设AB＝3厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：（1）和点A的距离等于2厘米的点的集合；（2）和点B的距离等于2厘米的点的集合；（3）和点A、B的距离都等于2厘米的点的集合；（4）和点A、B的距离都小于2厘米的点的集合2.在下面的矩形中，如果OA、OB、OC、OD的中点分别为E、F、G、H。求证：E、F、G、H4个点在同一个圆上。二、圆的轴对称性例1.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。ABOE变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?（1）（2）BAABOCCDDOE变式2：如下图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC＝BD还成立吗?ACODB变式4：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。BOACED变式5：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。AOBCED结论：得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心O引弦AB的垂线。例2.已知：AB。（如图），求作：AB的中点。分析：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。因此，连结AB，作弦AB的垂直平分线，它一定平分AB。思考：四等分弦AB是否可四等分AB，为什么?如下图所示的方法是否正确？DCEABMNPGTFH【典型例题】例1.P是⊙O的弦AB上一点，AB＝10，AP＝6，OP＝5，则⊙O的半径为？AOBCP例2.⊙O的直径AB＝16，P是OB的中点，∠APC＝30°，求CD的长。CEAOBDP例3.AB为⊙O的弦，从圆上任意一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连结PA、PB，求证：PAPBOPABDC例4.已知，AD为⊙O的直径，两弦AB＝AC，求证：AD平分∠BACBAODC例5.⊙O的弦AB、AC的夹角为70°，M、N分别为AB、AC的中点，求∠MON的度数。CNOAMB例6.已知圆内的一条弦与直径相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的中点与圆心的距离是多少？例7.求证：过圆内一定点的弦中垂直直径的弦（直径除外）最短。解：已知AB为直径，CD⊥AB，求证：EFCDAFCDQOBEP例8.P为⊙O内一点，且OP＝2，如图⊙O的半径为3，即过P的最短的弦等于___________。例9.已知⊙O的直径为10，P是⊙O内一点，且OP＝3，则过点P且长度小于8的弦有几条？