二次函数(基础知识)

二次函数一、知识网络程的关系二次函数与一元一次方图像平移变换轴的位置关系的判定图像与顶点与对称轴开口方向及单调性抛物线形状二次函数的性质二次函数概念cbxaxykhxayhxaybaxyax：yx：22222)()(二、知识点与典型例题知识点1：二次函数的概念：形如bxaxy2c(a≠0)的函数叫二次函数，其中ax2叫做二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次系数；c叫常数项。特别注意：a≠0例1：下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=3x-1;(2)y=3x2-1;(3)y=3x3+2x2;(4)y=(x+2)2-x2;(5)y=x2+21x;(6)y=2x2+x-21（2）①若y=)2()1()3(72mxmxmm是二次函数，则m的值是。②函数y=（m＋2）x22m＋2x－1是二次函数，则m=．知识点2：二次函数图像的画法：列表→描点→连线。特强强调：因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以列表时一定要把顶点写在中间。例2：作出y=x2+2x+2的图像知识点3：a、b、c符号的确定（1）a的符号由抛物线的开口方向决定：a＞0时，函数开口向上；a＜0时开口向下；（2）b的符号由对称轴和a的符号共同决定：①002aab时，b＜0；②002aab时b＞0；③002aab时b＞0；④二次函数002aab时，b＜0；⑤02ab时，b=0。（3）c的符号由图像与y轴的交点决定，当c＞0时，图像与y轴的交点在y的正半轴；当c=0时，图像与y轴的交点坐标原点；当c＜0时，图像与y轴的交点在y的负半轴；例3：（1）（2008龙岩）已知函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＞0B．a＜0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＞0，c＜0（2）函数2yaxbyaxbxc和在同一直角坐标系内的图象大致是()知识点4：会用配方法把bxaxy2c(一般式)转化为khxay2)(（顶点式），并且说出二次函数的开口方向、单调性、对称轴、顶点和最大（小）值。例4：把2245yxx转化为khxay2)(形式，并说出它的开口方向、单调性、对称轴、顶点和最大（小）值。知识点5：二次函数bxaxy2图像的性质（1）当a0时，开口向上，并且对称轴左侧y随x的增大而减小；对称轴右侧y随x的增大而增大。且当abx2时函数y有最小值abacy442当时a0时，开口向下，并且对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧y随x的增大而减小。且当abx2时函数y有最大值abacy442（2）二次函数的对称轴为abx2，顶点坐标为（,2ababac442）特别提示：能准确说出khxayhxaybaxyaxy2222)(;)(;;的性质，即开口方向、对称轴、顶点、最大（小）值及单调性。例5：（1）已知函数42)2(mmxmy是关于x的二次函数，求：①求m的值；②m为何值时，函数有最低点？求出这个最低点？当x为何值时y随着x的增大而增大？③m为何值时，函数有最大值？求出这个最大值？当x为何值时y随着x的增大而减小？（3二次函数21(4)52yx的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A.向上、直线x=4、（4，5）B.向上、直线x=-4、（-4，5）C.向上、直线x=4、（4，-5）D.向下、直线x=-4、（-4，5）知识点6：二次函数解析式的确定（一）利用待定系数法确定二次函数的解析式，有三种形式：（1）一般式：cbxaxy2，当已知函数过三点时利用一般式；（2）顶点式：khxay2)(，当已知函数的顶点或对称轴和最大（小）值时利用顶点式；（3）交点式：))((21xxxxay，当已知函数与x轴两个交点时利用交点式。例6：（1）已知二次函数2yxbxc中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…-101234…y…1052125…①求该二次函数的关系式；②当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？③若1()Amy，，2(1)Bmy，两点都在该函数的图象上，试比较1y与2y的大小．（2）如图，已知二次函数24yaxxc的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．知识点7：函数图像的平移变换xyO3－9－1－1AByxO13向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2（1）二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(hxay+k中k的值，抛物线的形状不变；当k＞0把2)(hxay的图像向上平移k个单位；当k＜0把2)(hxay的图像向下平移｜k｜个单位；（2）左右平移，只影响二次函数2)(hxay+k中h的值，抛物线的形状不变；当h＞0时，把kaxy2的图像向左平移h个单位；当h＜0时，把kaxy2的图像向右平移｜h｜个单位；例8：要得到二次函数222yxx的图象，需将2yx的图象（）A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位知识点8：二次函数cbxaxy2与一元二次方程02cbxax的关系02cbxax实质是二次函数cbxaxy2的特殊情况，指当x为何值时二次函数cbxaxy2中的y=0的特殊情况。即02cbxax的根就是cbxaxy2与x轴交点的横坐标。例9：已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为知识点9：函数图像与x轴的位置关系判定（1）当acb42＞0时，cbxaxy2与x轴有两个交点，方程02cbxax有两个不相等的实数根abxx2,21；（2）当acb42＝0时，cbxaxy2与x轴有一个交点，方程02cbxax有两个相等的实数根abxx2,21；（3）当acb42＜0时，cbxaxy2与x轴有没有交点，方程02cbxax没有实数根。例10：（2007广州）二次函数221yxx与x轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．3练习题一、选择题1．已知二次函数y＝Ax2＋Bx＋C的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．a＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＞02.（2010山东莱芜）二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则一次函数abxy的图象不经过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a、b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取值只能为0．结论正确的个数有（）个A．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是A．ab＜0B．ac＜0C．当x＜2时，函数值随x的增大而增大；当x＞2时，函数值随x的增大而减小D．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根。1234xyOOyx3Oyx64-2yO2x5.二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则一次函数acbxy与反比例函数xcbay在同一坐标系内的图象大致为（）6抛物线y=x2+bx+c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=27下列函数中，y随x增大而增大的是（）A.xy3B.5xyC.xy21D.)0(212xxy8抛物线772xkxy的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．47kB．47k且0kC．47kD．47k且0k9.已知二次函数2yaxbxc（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac0；②a–b+c0；③当x0时，y0；④方程20axbxc（a≠0）有两个大于－1的实数根．其中错误的结论有（A）②③（B）②④（C）①③（D）①④10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图7所示，那么下列判断不正确的是（）A．ac0B．a－b+c0C．b=-4aD．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=－1,x2=5910-1yx5x=22O1O1xyx=111OxyyxO(B)yxO(A)yxO(C)yxO(D)••二填空题11已知二次函数221yxaa（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a，0a，1a，2a时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y12y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为___．13已知实数yxyxxyx则满足,033,2的最大值为.14二次函数23yxmx的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是．15已知抛物线bxxy221经过点A(4,0)。设点C（1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得CDAD的值最大，则D点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。16如图，在ABC中，90B，12mmAB，24mmBC，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQC的面积最小．17．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．18．小汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系式为21001vs，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车有危险（填“会”或“不会”）.19．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示．经过______s，火箭达到它的最高点．·Oyx1三解答题20已知：如图，抛物线2yaxbxc与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0).与y轴相较于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D（7,2m）是抛物线2yaxbxc上一点，请求出m的值，并求处此时△ABD的面积．21已知二次函数cbxxy2的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）⑴求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；⑵根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．xy3－1O31241234O1212xy