找规律、程序运算和新定义-学生版

1/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法，也是科学发展史上的一种重要的方法.注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径；从数与式的特征观察；从几何图形的结构观察；通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况.规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在以往“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，现在又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型.模块一：找规律数字规律【例1】按照规律填上所缺的单项式并回答问题：(1)a、22a、33a、44a，________，__________；(2)试写出第2007个和第2008个单项式(3)试写出第n个单项式【例2】一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第(1)nn…个数据是___________找规律、程序运算和新定义同步练习知识讲解2/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义【变式练习】观察下列等式：第一行3＝4-1第二行5＝9-4第三行7＝16-9第四行9＝25-16第五行11＝36-25……按照上述规律，第n行的等式为.【变式练习】下面是一个三角形数阵：1------------------------第1行23------------------第2行456------------------第3行78910------------第4行……根据该数阵的规律,第8行第2个数是【例3】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的13610...，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的14916...，，，，，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．15B．25C．55D．1225【例4】右图是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前n横行的数字和为．111111111110105564433213/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义【例5】研究下面的一列数：1，3，5，7，9，11，13，…，照此规律，请你用表达式表示出第n个数.【例6】右图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于1A，2A，3A，…．若从O点到1A点的回形线为第1圈(长为7)，从1A点到2A点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为_________．【例7】一根拉直的绳子从中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的绳子分成1n段，需n刀，这就是说线段上n个点将线段分成1n段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成5段，试问：（1）将一根绳子对折4次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（2）将一根绳子对折2003次后，从中剪一刀，绳子变成几段？（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成2003段，如果能，求出对折的次数，如果不能，请说明理由．4/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义【例8】图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解答下列问题：⑴按照要求填表：⑵写出当10n时，s．【例9】如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？图形数数规律【例10】某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）……依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块数为______________第n层………………n1234…s136…图1图2图35/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义【例11】如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n2n枚棋子，每个图案中棋子总数为s，则s与n之间的关系可以表示为.【变式练习】为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）A．26nB．86nC．44nD．8n【变式练习】如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.（1）将下表填写完整；图形编号（1）（2）（3）（4）（5）三角形个数159（2）在第n个图形中有个三角形.(用含n的式子表示)【变式练习】图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝______（用n的代数式表示）sss图（3）……n=1n=2n=36/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义【例12】观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有_______个．【例13】观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是一样的），请写出第n个图中最小．．的三角形的个数有个．【例14】图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（）A．25B．66C．91D．120【例15】用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满________组，此时还剩余_______块瓷砖．图3图2图1图3图2图1第1个图第2个图第3个图第4个图7/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义【例16】一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点1A处，第二次从1A点跳动到1OA的中点2A处，第三次从2A点跳动到2OA的中点3A处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点跳过的总距离为_________．模块二：程序运算与新定义【例17】定义一种新运算：12abab，那么4*（-1）=_______【例18】现定义一种新运算：★，对于任意整数a、b，有a★b=a+b-1，求4★[（6★8）★（3★5）]的值【例19】用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2．则（20102009）（20072008）的值是.【例20】我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：32101202121211．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为_______．【例21】读一读：式子“12345100”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100”表示为1001nn，这里“”是求和符号．例如：1357999，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121nn（）；xPPPPA4A3A2A1A08/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义又如333333333312345678910可表示为1031nn．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴246810100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为．⑵计算5211nn（）．(填写最后的计算结果)【例22】定义：a是不为1的有理数，我们把11a称为a的差倒数．如：2的差倒数是1112，1的差倒数是111(1)2．已知113a，2a是1a的差倒数，3a是2a的差倒数，4a是3a的差倒数，…，依次类推，则2009a_______．【例23】若用汉字的四角号码作为密码来传送“希望杯”这三个字，即是“402207104199”．现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变成关于9的补码，即0变成9；1变成8；2变成7；……．则“希望杯”这三个字的新密码是_______．【例24】在密码学中,称直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25．现有4个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x，2x，3x，4x，已知:整数122xx，23x，342xx，43x除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是_________．【例25】对于数x，符号x表示不超过x的最大整数．若关于x的方程343xa有正整数解，则a的取值范围为______．【例26】对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．例如[3.14]=3，[7.59]8，则满足关系式3747x的x的整数值有()A．6个B．5个C．4个D．3个9/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义【练习1】下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）A.55B.42C.41D.49【练习2】柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有23听罐头，第二层有34听罐头，第三层有45听罐头，……根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有听罐头（用含n的式子表示）【练习3】观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，15，…2，5，8，11，14，17，20，23，…7，13，19，25，31，37，43，49，…这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数，并知道第一个数是3，第三个数是11．则其第n个数为（）A.85nB.22nC.41nD.225n【练习4】一组按规律排列的式子：2ba，52ba，83ba，114ba，…(0ab)，其中第7个式子是_____，第n个式子是______(n为正整数)．【练习5】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管.课后练习10/10同步课程˙找规律、程序运算和新定义①②③【练习6】用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需要3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……⑴搭7个需要根火柴棍．⑵搭n个三角形需要根火柴棍．【练习7】如果1111nnaa(1n，2，3，…，2009)，那么，当11a时，1223aaaaa20082009aa的值是多少？【练习8】观察下列图形：根据图1、图2、图3的规律，图4中的三角形的个数为．【练习9】如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的