沪教版中考复习：一模复习之二次函数与圆

1/18在九年级数学上学期第三章中，我们学习了二次函数的相关内容，这部分的知识点是一模考中必考的部分，所有的区县都会针对这部分的知识点进行考察．解答题中的主要考察方式是求解二次函数的解析式、二次函数与几何图形相结合的类型（主要是二次函数与相似三角形相结合，这部分内容会在后面的课程中进行讲解）．在九年级数学下学期第一章中，我们学习了圆的相关内容，这部分的知识点是一模考中只有教学进度比较快的部分区县会进行考察，包括：长宁区、宝山区、奉贤区、金山区、嘉定区、普陀区和崇明县等．解答题中会考察一道关于圆的证明题或者解答题．我们整理了近两年解答题中的相关题目，同学们可以有针对性地进行练习．二次函数主要考察二次函数解析式的求法（一般式、交点式、顶点式），二次函数图像的平移，以及二次函数与几何图形相结合的相关题型．二次函数与圆内容分析知识结构模块一：二次函数考点分析2/18【例1】（2015学年·杨浦区一模·第20题）已知二次函数20yaxbxca的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…1024…y…511m…求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值．【难度】★★【答案】【解析】【例2】（2014学年·徐汇区一模·第19题）已知二次函数2yaxbxc（a、b、c为常数，且0a）经过A、B、C、D四点，其中横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：（1）求二次函数的解析式；（2）求ABD的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例3】（2014学年·宝山区一模·第21题）已知一个二次函数的图像经过点A（1，0）和点B（0，6），C（4，6），求这个抛物线的表达式以及该抛物线的顶点坐标．【难度】★★【答案】【解析】ABCDx1013y1353例题解析3/18ABCOxy【例4】（2014学年·闸北区一模·第20题）已知二次函数22yxbxc的图像经过点A（0，4）和B（1，2）．（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为2yaxmk的形式；（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出CAO的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例5】（2014学年·普陀区一模·第21题）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线2x，求二次函数的解析式并写出图像最低点的坐标．【难度】★★【答案】【解析】【例6】（2015学年·闵行区一模·第19题）如图，已知RtABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．求经过A、B、C三点的二次函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】ABCOxyx=24/18【例7】（2015学年·虹口区一模·第20题）已知一个二次函数的图像经过A（0，3）、B（2，3）、C（1，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点P(0，3)的位置，求所得新抛物线的表达式．【难度】★★【答案】【解析】【例8】（2015学年·徐汇区一模·第20题）抛物线22yxxc经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线22yxxc沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果2AB，求新抛物线的表达式．【难度】★★【答案】【解析】【例9】（2014学年·金山区一模·第22题）抛物线2(0)yaxbxca向右平移2个单位得到抛物线2(3)1yax，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求BPM的面积．【难度】★★【答案】【解析】5/18【例10】（2014学年·宝山区一模·第20题）已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图像顶点为A（1，0）且与y轴交于点B（0，1）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设C为该二次函数图像上横坐标为2的点，记OAa，OBb试用a、b表示OC．【难度】★★【答案】【解析】【例11】（2015学年·静安区一模·第24题）如图，直线112yx与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图像与y轴相交于点C，与直线112yx相交于点A、D，CD//x轴，CDAOCA．（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】xyOABCD6/18OABCxy【例12】（2015学年·嘉定区一模·第24题）已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线212yxbxc经过点A（4，0）、点C（0，4），点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC、BC，求ACB的正弦值；（3）点P是这条抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（0m），过点P作y轴的垂线PQ，垂足为Q，如果QPOBCO，求m的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例13】（2015学年·崇明县一模·第24题）如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B（3，0），C（0，4），点A在x轴的负半轴上，4OCOA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于点M，联结CP，若CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】xy11O7/18【例14】（2014学年·宝山区一模·第25题）（1）数学小组的单思稿同学认为形如2yaxbxc的抛物线，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称a、b、c为抛物线2yaxbxc的特征数，记作cab、、．请求出与y轴交于点C（0，－3）的抛物线22yxxk在单同学眼中的特征数；（2）同数学小组的尤格星同学喜欢将抛物线设成2()yaxmk的顶点式，因此坚持称a、m、k为抛物线的特征数，记作amk、、．请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为uvw、、的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图像。即此时的特征数uvw、、无论按单思稿同学还是按尤格星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；（4）在直角坐标系xOy中，上述（1）中的抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），请直接写出ABC的重心坐标．【难度】★★★【答案】【解析】8/18ACDBEOABCDO解答题中，圆这一部分主要考察圆的圆心角、弧、弦、弦心距四者的关系，垂径定理及其推论、以及直线与圆、圆与圆的位置关系．当然，还有圆与其他图形（三角形、四边形）、其他知识（锐角三角比、相似三角形、二次函数）相结合的题目．【例15】（2014学年·长宁区一模·第21题）如图，AB是O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD．求证：OCD是等腰三角形．【难度】★★【答案】【解析】【例16】（2015学年·宝山区一模·第22题）如图，以AB为直径的O与弦CD相交于点E，若AC=23，AE=3，CE=3．求弧BD的长度．（保留）【难度】★★【答案】【解析】模块二：圆例题解析考点分析9/18OABCDEABCDO【例17】（2015学年·奉贤区一模·第22题）如图，在O中，AB为直径，点B为CD的中点，CD=25，AE=5．（1）求O半径r的值；（2）点F在直径AB上，联结CF，当FCDDOB时，求AF的长．【难度】★★【答案】【解析】【例18】（2014学年·奉贤区一模·第20题）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OCAB，AB=24m，12sin13COB，DE是水位线，DE//AB．（1）当水位线430DEm时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时ACD的余切值．【难度】★★【答案】【解析】【例19】（2015学年·长宁区、金山区一模·第22题）如图，点C在O直径BA延长线上，2ABAC，CD切O于点D，联结CD、OD．（1）求C的正切值；（2）若O的半径2r，求BD的长度．【难度】★★【答案】【解析】【例20】（2015学年·嘉定区一模·第21题）已知，如图，点A、B、C在O上，且点BEDCOBA10/18ABCOABCDOPNMOPABCDO1是AC的中点，当5OAcm，3cos5OAB时：（1）求OAB的面积；（2）联结AC，求弦AC的长．【难度】★★【答案】【解析】【例21】（2014学年·宝山区一模·第23题）如图，P为O的直径MN上一点，过P作弦AC、BD使APMBPM，求证PA=PB．【难度】★★【答案】【解析】【例22】（2014学年·金山区一模·第23题）如图，已知O与1O外离，OC与1OD分别是O与1O的半径，OC//1OD．直线CD交1OO于点P，交O于点A，交1O于点B．求证：（1）OA//1OB；（2）APACBPBD．【难度】★★【答案】【解析】【例23】（2014学年·宝山区一模·第25题）如图，在ABCV中，10ABAC，12BC，点E、F分别在边BC、AC上（点F不与点A、C重合）EF//AB．把ABCV沿直11/18AECBF线EF翻折，点C与点D重合，设FCx．（1）求B的余切值；（2）当点D在ABCV的外部时，DE、DF分别交AB于M、N，若MNy，求y关于x的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E为圆心、BE长为半径的E与边AC①没有公共点时，求x的取值范围；②一个公共点时，求x的取值范围；③两个公共点时，求x的取值范围．【难度】★★★【答案】【解析】【例24】（2014学年·奉贤区一模·第25题）已知：矩形ABCD中，过点B作BGAC交AC于点E，分别交射线AD于F点、交射线CD于G点，BC=6．（1）当点F为AD中点时，求AB的长；（2）联结AG，设AB=x，AFGSy，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）是否存在x的值，使以D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】ABDGCEF12/18【习题1】（2015学年·浦东新区一模·第20题）二次函数2yaxbxc的变量x与变量y的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的解析式；（2）写出抛物线顶点坐标和对称轴．【难度】★★【答案】【解析】【习题2】（2015学年·浦东新区一模·第20题）在直角坐标平面内，抛物线2yaxbxc经过原点O、A（2，2）与B（1，5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．【难度】★★【答案】【解析】【习题3】（2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第19题）已知：在直角坐标平面内，抛物线26yxbx经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：（1）抛物线的表达式；（2）ABC的面积．【难度】★★【答案】【解析】x…321015…y…705897…随堂检测13/181xyO1234OABCDEOPABCD【习题4】（2015学年·黄浦区一模·第21题）已知抛物线2yaxbxc如图所示，请结合图像中所给信息完成以下问题：（1）求抛物线的表达式；（2）若该抛物线经过一次平移后过原点O，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式．【难度】★★【答案】【解析】【习题5】（2015学年·闵行区一模·第20题）已知：如图，在O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果30BAO，且BE=2，求弦CD的长．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】（2014学年·黄浦区一模·第2