高三一轮复习之基本不等式

基本不等式一、考试方向1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．二、能力要求要求学生掌握基本不等式的使用条件：一正二定三相等；掌握四种类型的基本不等式的应用：和定求积；积定求和；和定求和；和积关系求和积。三、基础知识1.基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)；(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．3.最值问题：已知yx,是正数，①如果积xy是定值P，则当yx时，和yx有最小值P2；②如果和yx是定值S，则当yx时，积xy有最大值241S.利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。四、经典题型类型一基本不等式适用条件的应用使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．例1．已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是()A.ba＋ab≥2B.ba＋ab≥－2C.ba＋ab≤－2D.ba＋ab≥例2．下列结论正确的是A．当0x且1x时，1lglgxx2B．0x当时，12xxC．xxx1,2时当的最小值为2D．当xxx1,20时无最大例3．下列函数中，y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．①y＝x＋4x(x0)；②y＝2x2＋3x2＋2；③y＝ex＋4e－x；④y＝sinx＋4sinx.例4.若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则P，Q，R的大小关系为________．[例5.设0ab，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2D.ab＜a＜a＋b2＜b类型二、基本不等式的应用之和定求积例1.已知0a，0b，1ba，则ab的最大值是______.例2.已知0＜x＜25，则y＝2x－5x2的最大值为________．类型三、基本不等式的应用之积定求和例1.已知x0，y0，lgx＋lgy＝1，求z＝2x＋5y的最小值；例2．设Rba,，且3ba，则ba22的最小值是A．6B．24C．22D．62x0，例3.已知0x，求f(x)＝12x＋3x的最小值；例4．函数)1)(511(log3xxxy的最小值是_____________.例5.已知0x，则xx432的最大值是________.例6.x3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值．例7.若M＝a2＋4a(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为()A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]C．[4，＋∞)D．[－4,4]例8．对一切正数m，不等式n4m＋2m恒成立，则常数n的取值范围为()A．(－∞，0)B．(－∞，42)C．(42，＋∞)D．[42，＋∞)例9.设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()．A．1B．2C．3D．4例10.已知0,0ab，则112abab的最小值是（）A．2B．22C．4D．5利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．类型四、基本不等式的应用之和定求和例1．设x、y为正数，则有(x+y)(1x＋4y)的最小值为（）A．15B．12C．9D．6例2．已知2a＋3b＝6，且a0，b0，则32a＋1b的最小值是________．例3．设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为A8B4C1D14例4.已知,,,abxyR（,ab为常数），1abxy，求xy的最小值．类型五、基本不等式的应用之和积关系求和积例1．设,xyR，且()1xyxy，则（）()A2(21)xy()B21xy()C2(21)xy()D2(21)xy例2．若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．例3.已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．例4．已知0,0yx，且082xyyx，求（1）xy的最小值；（2）yx的最小值。解：（1）由08xyyx，得128yx，又0,0yx，则xyyxyx8282281，得64xy，当且仅当yx时，等号成立。（2）法1：由08xyyx，得28yyx，20yx则28yyyyx1810216)2(yy，当且仅当216)2(yy，即12,6xy时，等号成立。法2：由08xyyx，得128yx，则yx=)()28(yxyxxyyx82101882210xyyx。题型六应用题例1.某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？例2．生产某种商品x吨，所需费用是)10151000(2xx元，当出售这种商品时，每吨价格为p元，这里bxap（,ab为常数），（1）为了使这种商品的每吨平均生产费用最小，那么这种商品的产量为多少吨？（2）如果生产出来的产品是150吨，并且能全部卖完，那么每吨价格是40元时利润最大，求,ab的值．例3.东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？