泰勒公式(1)

3.5泰勒公式1.Taylor中值定理2.Maclaurin公式3.几个常用初等函数的麦克劳林公式引言对比较复杂的函数,为便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.多项式函数是最为简单的一类函数,因而多项式经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近.勒在这方面作出了不朽的贡献.其研究结果表明:具有直到1n阶导数的函数在一个点的领域内的值例如,在微分学中已知,当||x很小时,有下列近似等英国数学家泰的次多项式近似表达.n可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成引言例如,在微分学中已知,当||x很小时,有下列近似等式:,sinxx,)1ln(xxxex1等等.但这些近似等式存在明显不足,首先是精度不高,其次是误差无法估计.问题对给定的满足一定条件的复杂函数),(xfn是否存在一个次多项式函数),(xPn使得),()(xPxfn且误差)()()(xPxfxRnn可估计.多项式逼近为了回答刚才提出的问题,先来考虑下面这样一种情形.设n次多项式)(xPn与函数)(xf在点0x处满足条件:),()(00xfxPn)()(0)(0)(xfxPkkn),,2,1(nk要按这些等式来确定多项式202010)()()(xxaxxaaxPn.)(0nnxxa事实上,直接将这个多项式代入上述条件中可依次得到:),(00xfa),('101xfa),(''!202xfa),(!0)(xfannn即)(!10)(xfkakk),,,2,1,0(nk故)()(')()(000xxfxfxfxPnnnxxnxf)(!)(00)(这个多项式就是我们要寻找的n次多项式.完泰勒(Taylor)中值定理泰勒(Taylor)中值定理如果函数)(xf在含有0x的某个开区间),(ba内则当x在),(ba内时个n次多项式与一个余项)(xRn之和:))((')()(000xxxfxfxf),()(!)(00)(xRxxnxfnnn)(xf可以表示为)(0xx的一其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0x与x之间).)1(n阶的导数,具有直到证明由题设,)(xRn在),(ba内具有直到)1(n阶导数,且)(')(00xRxRnn)(0xRn)(0)(xRnn,0两函数)(xRn及10)(nxx在以0x及x为端点的区间上从而有0)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxR满足柯西中值定理的条件,的区间上满足柯西中值定理的条件,从而有0)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxRnnxnR))(1()('011(在0x与x之间),两函数)('xRn及nxxn))(1(0在以0x及1为端点的区间上从而有nnxnR))(1()('0110))(1()(')('0101nnnxnxRR满足柯西中值定理的条件,泰勒(Taylor)中值定理端点的区间上从而有nnxnR))(1()('0110))(1()(')('0101nnnxnxRR满足柯西中值定理的条件,1022))(1()(''nnxnnR2(在0x与1之间)如此下去,经过1n次后,有)!1()()()()1(10nRxxxRnnnn(在0x与n之间,也在0x与x之间),因为,0)()1(xPnn所以),()()1()1(xfxRnnn泰勒(Taylor)中值定理0x与x之间),因为,0)()1(xPnn所以),()()1()1(xfxRnnn从而由上式得10)1()()!1()()(nnnxxnfxR拉格朗日型余项0x其中在与x之间.证毕.注意到|)(|xRn|)()!1()(|10)1(nnxxnf泰勒(Taylor)中值定理0x其中在与x之间.证毕.注意到|)(|xRn|)()!1()(|10)1(nnxxnf则有])[(0nnxxoR皮亚诺型余项,)()!1(10nxxnM综合得到泰勒公式:))((')()(000xxxfxfxf),()(!)(00)(xRxxnxfnnn泰勒(Taylor)中值定理综合得到泰勒公式:))((')()(000xxxfxfxf),()(!)(00)(xRxxnxfnnn10)1()()!1()()(nnnxxnfxR拉格朗日型余项])[(0nnxxoR皮亚诺型余项当0n时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:注:当0n时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:注:))((')()(00xxfxfxf(在0x与x之间),若在泰勒公式中令,00x则得到所谓的麦克劳林公式:2!2)0('')0(')0()(xfxffxf)(!)0()(xRxnfnnn其中1)1()!1()()(nnnxnxfxR)10(或).()(nnxoxR完例1求xexf)(的n阶麦克劳林公式.解)(xf)0(f注意到xnexf)()1(代入泰勒公式，得xe12)!1(!!21nxnxnenxxx),10(由公式可知,!!212nxxxenx)(xf)()(xfn,xe)0(f,1)0(f)0()(nf例2求xexf)(的n阶麦克劳林公式.解xe12)!1(!!21nxnxnenxxx),10(由公式可知,!!212nxxxenx例2求xexf)(的n阶麦克劳林公式.解xe12)!1(!!21nxnxnenxxx),10(由公式可知,!!212nxxxenx其误差)(xRn1)!1(nxxne1)!1(nxxne)10(例2求xexf)(的n阶麦克劳林公式.解,!!212nxxxenx其误差)(xRn1)!1(nxxne)10(例2求xexf)(的n阶麦克劳林公式.解,!!212nxxxenx其误差)(xRn1)!1(nxxne)10(取,1x得e,!1!2111n其误差nR)!1(ne.)!1(3n完例1写出函数xxxfln)(3泰勒公式.解,ln)(3xxxf,0)1(f,ln3)(22xxxxf,1)1(f,5ln6)(xxxxf,5)1(f,11ln6)(xxf,11)1(f,6)()4(xxf,6)1()4(f,6)(2)5(xxf.6)(2)5(f在10x处的四阶于是xxln3)1(x2)1(!25x3)1(!311x4)1(!46x,)1(!5652x其中在1与x之间.例2求xxfsin)(的n阶麦克劳林公式.解,cos)(xxf,sin)(xxf,cos)(xxf,sin)()4(xxf,,2sin)()(nxxfn由此得,1)0(f,0)0(f,1)0(f,0)0()4(fxsin的各阶导数依序循环地取四个数,1,0,1,0令,2mn则xsin!5!353xxx其中)(2xRm取3,2,1m的近似函数与原函数图像比较.).10(12)!12(2)12(sinmxmmx),()!12()1(2121xRmxmmm完常用函数的麦克劳林公式xexsinxcos)1ln(x);(!!212nnxonxxx);()!12()1(!5!3221253nnnxonxxxx);()!2()1(!6!4!21122642nnnxonxxxx);()1(32132nnnxonxxxxx11);(12nnxoxxxmx1xm)1(常用函数的麦克劳林公式x11);(12nnxoxxxmxxm1)1().(!)1()1(nnxoxnnmmm注:上述已知公式常用于的函数的麦克劳林公式,以及求某些函数的极限等.完间接地展开一些更复杂例3求函数xxexf)(的n阶麦克劳林公式.解利用xe的1n阶麦克劳林公式，得到函数xxe的n阶麦克劳林公式可间接)()!1(!21112nnxxonxxxxxe).()!1(!232nnxonxxxx例4求xy31在1x的泰勒展开式.解xy31)1(21x211121x22121121xx3222)1(2121xx完nnxox2121].)1[(2)1(1nnnxox内容小结1.Taylor中值定理若函数)(xf在含有0x的某开区间),(ba内具有直到)1(n阶的导数，则当),(bax200000)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf).()(!)(00)(xRxxnxfnn其中()()!1()()(10)1(nnnxxnfxR在0x与其中()()!1()()(10)1(nnnxxnfxR在0x与x之间）或].)[()(0nnxxoxR2.Maclaurin公式在Taylor公式中，令,00x则得到Maclaurin公式2!2)0()0()0()(xfxffxf),10()!1()(!)0(1)1()(nnnnxnxfxnf或2!2)0()0()0()(xfxffxf).(!)0()(nnnxoxnf3.几个常用初等函数的麦克劳林公式xexsinxcos)1ln(x);(!!212nnxonxxx);()!12()1(!5!3221253nnnxonxxxx);()!2()1(!6!4!21122642nnnxonxxxx);()1(32132nnnxonxxxxx11);(12nnxoxxxmx1xm)1(