沪教版中考复习：一模复习之特殊三角形的存在性

1/13直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力．特殊三角形的存在性知识结构模块一：直角三角形的存在性考点分析2/13Oxy【例1】（2015学年·奉贤区一模·第24题）如图，二次函数2yxbxc图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且45BAO.（1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得BCD为直角三角形.若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由.【难度】★★★【答案】【解析】【例2】（2015学年·虹口区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线23yaxbx与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，1tan2CBA．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；（3）设抛物线上的点E在第一象限，BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】例题解析BAOyx3/13ABCPMABCDEFG【例3】如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APMB．（1）求证：ABP∽PCM；（2）设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当PCM为直角三角形时，求点P、B之间的距离．【难度】★★★【答案】【解析】【例4】（2015学年·静安区一模·第25题）已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AC=BC=10，54cosACB，点E在对角线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G．设AD=x，AEF的面积为y．（1）求证：DCAEBC；（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果DFG是直角三角形，求AEF的面积．【难度】★★★【答案】【解析】4/13xyABCO等腰三角形的存在性问题也是考察分类讨论思想的一类题型，多次出现在初三的一模考、二模考，甚至中考的压轴题中，注重考察学生的想象、分析和运算的能力．分类讨论的解题思路大致可以总结为，根据不同的边（角）相等，根据相关性质（最好同时作出不同情况下的等腰三角形），再利用含有字母的代数式建立方程进行求解．【例5】（2013学年·宝山区一模·第25题）如图，已知抛物线2144yxbx与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）连接AC、BC，试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN//y轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】模块二：等腰三角形的存在性例题解析考点分析5/13ABCDEPQ【例6】（2015学年·徐汇区一模·第25题）如图，四边形ABCD中，60C，5ABAD，8CBCD，点PQ、分别是边ADBC、上的动点，AQ和BP交于点E，且1902BEQBAD，设AP、两点的距离为x．（1）求BEQ的正切值；（2）设AEyPE，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当AEP是等腰三角形时，求BQ、两点的距离．【难度】★★★【答案】【解析】【例7】（2015学年·崇明县一模·第25题）如图，已知矩形ABCD中，6AB，8BC，E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EFAE交AC、CD于点M、F，过点B作BGAC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：ABH∽ECM；（2）设BEx，EHyEM，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BHE为等腰三角形时，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】ABDFCMGHE6/13ABCDEMPPNMABC【例8】（2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第25题）．如图，矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得ABECBP．如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当AP=4时，求EBP的正切值；（3）如果EBC是以EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例9】（2013学年·徐汇区一模·第25题）如图，ABC中，5AB，11BC，35cosB，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC．（1）当点N恰好落在BC边上时，求NC的长；（2）若点N在ABC内部（不含边界），设BPx，CNy，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域；（3）若PNC是等腰三角形，求BP的长．【难度】★★★【答案】【解析】7/13ABCDNMPl【例10】（2015学年·普陀区一模·第25题）如图，已知锐角MBN的正切值等于3，PBD中，90BDP，点D在MBN的边BN上，点P在MBN内，PD=3，BD=9．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C．设CACP=x：（1）求x=2时，点A到BN的距离；（2）设ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．【难度】★★★【答案】【解析】8/13ABCDEFGNMxyOAB【习题1】如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E为对角线AC上一点，且13AECE，直线DE分别与边AB、CB的延长线交于点F、G．点M在线段BG上（与B、G不重合），联结AM，交DG于点N．设BM=x，DN=y．（1）求证：BF=2AF；（2）求y与x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当点M在线段BG上移动时，BDN能否成为直角三角形？如果能，请求出线段BM的长；如果不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【习题2】（2012学年·普陀区一模·第24题）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】随堂检测9/13ABCDE【习题3】（2013学年·浦东新区、闵行区、杨浦区、青浦区、静安区、松江区一模·第25题）如图，已知在RtABC中，90ACB，10AB，4tan3A，点D是斜边AB上的动点，连接CD，作DECD，交射线CB于点E，设ADx．（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；（2）当BED是等腰三角形时，求x的值；（3）如果DEyDB，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【难度】★★★【答案】【解析】【习题4】（2014学年·黄浦区一模·第25题）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC、BD交于点O．点E在AB延长线上，联结CE，AFCE，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、H（点F不与点C、E重合）．（1）当点F是线段CE的中点时，求GF的长；（2）设BE=x，OH=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BHG是等腰三角形时，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】OHGFDBACE10/13ABCDPQ【习题5】（2014学年·普陀区一模·第25题）如图，等边ABC，4AB，点P是射线AC上的一动点，联结BP，作BP的垂直平分线交线段BC于点D，交射线BA于点Q，分别联结PD，PQ．（1）当点P在线段AC的延长线上时，①求DPQ的度数并求证△DCP∽△PAQ；②设CPx，AQy，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果PCD是等腰三角形，求APQ的面积．【难度】★★★【答案】【解析】11/13ABNMPxyOOxy【作业1】如图，已知点P是函数12yx（x0）图像上一点，PAx轴与点A，交函数1yx（x0）图像与点M，PBy轴于点B，交函数1yx（x0）图像于点N（点M、N不重合）．（1）当点P的横坐标为2时，求PMN的面积；（2）证明：MN//AB；（3）试问：OMN能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【作业2】（2012学年·嘉定区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线24yaxaxc（0a）经过A（0，4）、B（3，1）两点，顶点为C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿y轴向上平移m（m0）个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点D．当ACD是等腰三角形时，求点D的坐标；（3）若点P在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时针旋转90°得到线段PO，若点'O恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】课后作业12/13ABCDEFGABCDEFG【作业3】（2014学年·徐汇区一模·第25题）如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线ACBC，AD=9，AC=12，BC=16，点E是边BC上一个动点，EAFBAC，AF交CD于点F、交BC延长线于点G，设BE=x．（1）试用x的代数式表示FC；（2）设FGyEF，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当AEF是等腰三角形时，直接写出BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】【作业4】（2013学年·崇明区一模·第25题）如图，在ABC中，8AB，10BC，34cosC，2ABCC，BD平分ABC交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），F是AC边上一点，且AEFABC，AE与BD相交于点G．（1）求证：ABBGCECF；（2）设BEx，CFy，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】13/13【作业5】（2015学年·闸北区一模·第25题）如图，梯形ABCD中，AD//BC，90A，AD=4，AB=8，BC=10，M在边CD上，且23DMMC．（1）如图1，联结BM，求证：BMCD；（2）如图2，作90EMF，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，若AE=x，BF=y．当点F在线段BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若MCF是等腰三角形，求AE的值．【难度】★★★【答案】【解析】图1ACBDM图2EACBDMF备用图ACBDM