2019-2020人教A版数学必修一1.1.3第1课时优质课件

高中数学课件精心整理欢迎使用1.1.3集合的基本运算第1课时并集、交集一、并集属于集合A或属于集合BA∪BA并B﹛x|x∈A,或x∈B﹜思考：集合A∪B中的元素个数就是由集合A和B的所有元素的个数的和吗？提示：不一定.因为集合元素满足互异性，所以若集合A和B有公共元素，则只能出现一次.二、交集属于集合A且属于集合BA∩BA交B﹛x|x∈A,且x∈B﹜思考：当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时A∩B=∅.三、并集与交集的性质并集交集A∪A=AA∩A=AA∪∅=__A∩∅=__A∅判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合M={直线}与集合N={圆}无交集.()(2)两个集合的并集中元素就是将两个集合元素合在一起.()(3)若A∩B=C∩B，则A=C.()提示：(1)错误.虽然两集合无公共元素，但两个集合的交集存在且为空集，故不正确.(2)错误.当两个集合有公共元素时，在并集中只能算作一个，故不正确.(3)错误.若A∩B=C∩B，A与C也可能不相等，故不正确.答案：(1)×(2)×(3)×【知识点拨】1.对并集概念的理解(关键词“或”)(1)并集概念中的“或”字与生活中的“或”字含义不同.生活中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的，但不是必须兼有的.x∈A，或x∈B包含三种情况：①x∈A，但x∉B;②x∈B，但x∉A;③x∈A且x∈B.(2)用Venn图如下所示：因此A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.2.对交集概念的理解(关键词“且”)(1)定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素.(2)A∩B={x|x∈A，且x∈B}中的“且”是指“同时”，即集合A与集合B的公共元素都属于A∩B.(3)用Venn图表示交集如下：3.关于交集、并集运算的常用的性质(1)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(2)A⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A,B⊆(A∪B)，(A∩B)⊆B.(3)若A∪B=B，则A⊆B；反之，若A⊆B，则A∪B=B.(4)若A∩B=B，则B⊆A；反之，若B⊆A，则A∩B=B.类型一集合并集的运算【典型例题】1.(2013·西宁高一检测)已知集合A={x|-1≤x＜3},B={x|2＜x≤5}，则A∪B＝()A.{x|2＜x＜3}B.{x|-1≤x≤5}C.{x|-1＜x＜5}D.{x|-1＜x≤5}2.(2013·重庆高一检测)设集合M={1,2}，则满足条件M∪N={1,2,3,4}的集合N的个数是()A.1B.3C.2D.43.(2013·杭州高一检测)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A.0B.1C.2D.4【解题探究】1.两个集合求并集的实质是什么？2.题2中在已知M∪N及集合M的条件下，如何确定集合N？3.当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个数和相等时，如何确定其中的参数？探究提示：1.两个集合求并集的实质是把两个集合中的所有元素合在一起，组成一个新的集合.2.根据集合M∪N及集合M的关系，可以确定集合N一定含有的元素，集合的个数则由可能含有的元素确定.3.此类问题，一般是去掉已知元素，把参数与并集中的元素对应相等，构成方程(组)求解.【解析】1.选B.结合数轴分析可知，A∪B＝{x|-1≤x≤5}.2.选D.∵M={1,2}，M∪N={1,2,3,4}，∴N={3,4}或{1,3，4}或{2，3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4个.3.选D.∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴a=4，a2=16或a=16，a2=4，解得a=4.【拓展提升】求两个集合并集的两个方法(1)若两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集.(2)若两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集.但应注意端点是否能取得.【变式训练】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|x3}，则A∪B＝__________.【解析】A与B都是“连续的数集”，所以用数轴表示，如图所示．则A∪B＝{x|x≤5}．答案：{x|x≤5}类型二集合交集的运算【典型例题】1.(2013·安阳高一检测)若A={0,1,2,3},B={0,3,6,9},则A∩B=()A.{1,2}B.{0,1}C.{0,3}D.{3}2.(2013·潍坊高一检测)已知M＝{x｜y＝x2-1}，N＝{y|y＝x2-1}，那么M∩N=()A.{y|y＝－1或0}B.{x|x＝0或1}C.{(0,－1),(1,0)}D.{y|y≥-1}【解题探究】1.两个集合交集中的元素是由两个集合中什么样的元素构成的？2.当两个集合元素无限时求其交集需借助的工具是什么？探究提示：1.两集合交集中的元素是两个集合的公共元素(包括无公共元素，即空集的情形).2.当两个集合元素无限时，可借助数轴分析求解.【解析】1.选C.观察两集合元素可知，公共元素是0,3，从而A∩B={0,3}.2.选D.M={x|y＝x2－1}=R，N＝{y|y＝x2-1}={y|y≥-1}，故M∩N={y|y≥-1}.【互动探究】题1中，若集合B={4,5,6}，其他条件不变，则A∩B等于什么？【解析】由于两个集合无公共元素，因此A∩B=∅.【拓展提升】求两个集合交集的方法及注意事项(1)方法：当两个集合元素个数有限时，可直接求交集；当两个集合为无限集时，可借助于数轴分析求解.(2)注意事项：两个集合无公共元素时，不能说无交集，而是交集为空集.【变式训练】已知集合S＝{x|0x1}，T＝{x|2x－1≤1}，则S∩T等于()A.SB.TC.{x|x≤1}D.∅【解析】选A.∵T＝{x|x≤1}，∴S∩T＝S.类型三集合交集、并集运算的性质及其简单综合【典型例题】1.(2013·临沂高一检测)已知集合A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，则p+q+r=______________.2.设集合A＝{-2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．【解题探究】1.-2是不是方程x2-px-2=0的根？怎样确定集合B？2.条件中的A∩B＝B应如何转化？探究提示：1.-2是方程x2-px-2=0的一个根，由此来确定集合A，进而确定集合B.2.条件A∩B＝B可通过交集的性质A∩B=B⇔B⊆A转化，进而求解.【解析】1.∵A∩B={-2}，∴-2∈A且-2∈B，将x=-2代入x2-px-2=0，得p=-1，∴A={1，-2}，∵A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，∴B={-2，5}，∴q=-［(-2)+5］=-3，r=(-2)×5=-10，∴p+q+r=-14.答案：-142.∵A∩B＝B，∴B⊆A.∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0,满足B⊆A.当B≠∅时，此时a≠0，则B＝{}，∴∈A，即有＝-2，得a＝.综上，得a＝0或a＝.1a121a1a12【拓展提升】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B.(2)关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解.【变式训练】已知集合M={x|2x-4=0}，N={x|x2-3x+m=0}.(1)当m=2时，求M∩N,M∪N.(2)当M∩N=M时，求实数m的值.【解题指南】(1)将m=2代入集合N化简后再求交集、并集.(2)根据集合交集、并集运算性质求解.【解析】由已知得M={2}，(1)当m=2时，N={1，2}，所以M∩N={2}，M∪N={1，2}.(2)若M∩N=M，则M⊆N，∴2∈N,所以4-6+m=0，m=2.【典型例题】1.某中学有一个数学、物理奥林匹克竞赛班(由所有参加数学奥林匹克竞赛和参加物理奥林匹克竞赛的同学组成)共有45人.已知该班中有32人参加了数学奥林匹克竞赛，有28人参加了物理奥林匹克竞赛，则该班同时参加数学和物理奥林匹克竞赛的有________人.交集、并集的实际应用2.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？【解析】1.如图：设集合A=｛x|x是参加数学奥林匹克竞赛的同学｝，集合B=｛x|x是参加物理奥林匹克竞赛的同学｝，则A∪B=｛x|x是全班同学｝，A∩B=｛x|x是既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克竞赛的同学｝，由题意知集合A中有32个元素，集合B中有28个元素，集合A∪B中有45个元素，所以A∩B中有32+28-45=15个元素.故既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克竞赛的同学有15人.答案：152.如图，不妨设参加计算的人数为集合A，参加测量的为集合B，参加绘图的为集合C.设3项工作都参加的人数为x，则各个集合之间的关系得到清晰表达.测绘队总人数为(10-x)+(8-x)+(6-x)+4+6+8+x=42-2x，因为0≤x≤6，所以30≤42-2x≤42，即测绘队人数最少为30人，此时x=6.答：这个测绘队至少有30人.【拓展提升】解交集、并集的实际应用问题的方法技巧在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时，常借助Venn图来求解，一般步骤如下：(1)利用Venn图将集合间的关系直观地表示出来，即根据Venn图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言.(2)通过解方程和限制条件的运用解决问题.【易错误区】集合交、并运算中的元素不清致误【典例】已知集合M={y|y=x2-4x+3，x∈Z}，N={y|y=-x2-2x，x∈Z}，则M∩N=()A.∅B.{0}C.{-1,0,1}D.{0,1}【解析】选B.∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，①x∈Z，∴M={-1,0,3,8,15,…}；∵y=-x2-2x=-(x+1)2+1，②x∈Z，∴N={1,0,-3,-8,-15,…}.∴M∩N={0}，故选B.【类题试解】已知A={-3，a2，a+1}，B={a-3，2a-1，a2+1}，若A∩B={-3}，则a的值为()A.0B.-1C.1D.0或-1【解析】选B.∵A∩B={-3},∴-3∈B,易知a2+1≠-3.①若a-3=-3，则a=0，此时A={-3，0，1}，B={-3，-1，1}，则A∩B={-3，1}≠{-3}，与已知矛盾.②若2a-1=-3，则a=-1，此时A={-3，1，0}，B={-4，-3，2}，则A∩B={-3}满足要求，综上可知a=-1.【误区警示】【防范措施】认清集合的含义在进行集合交集、并集运算时，首先应弄清集合的属性，即由集合元素来确定集合是数集、点集还是其他集合,如本例中M，N均为相应二次函数的值构成的集合.1.下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2.若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∪B＝()A.{x|－1＜x＜1}B.{x|－2＜x＜1}C.{x|－2＜x＜2}D.{x|0＜x＜1}【解析】选C.因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∪B＝{x|－2＜x＜2}．3.已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝_______.【解析】由条件得A∪B＝{1,2,4,6}．答案：{1,2,4,6}4.如果A={