2019-2020人教A版数学必修一1.3.1第2课时优质课件

高中数学课件精心整理欢迎使用成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修1集合与函数概念第一章1.1.1集合的概念1.3函数的基本性质第一章1.1.1集合的概念1.3.1单调性与最大(小)值第二课时函数的最值第一章1.1.1集合的概念互动课堂2随堂测评3课后强化作业4预习导学1预习导学●课标展示1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．2．会求一些简单函数的最大值或最小值．●温故知新旧知再现1．判断正误：(1)若函数f(x)在区间(a，b)和(c，d)上均为增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(c，d)上也是增函数．(2)若函数f(x)和g(x)在各自的定义域上均为增函数，则f(x)＋g(x)在它们定义域的交集(非空)上是增函数．[答案](1)×(2)√2．填空：(1)函数y＝|x|的单调增区间为__________．(2)函数y＝ax＋b(a≠0)的单调区间为______________；函数y＝(a2－1)x不是单调函数，则a＝_____.(3)函数y＝－x2＋bx＋c在(－∞，2]上为增函数，则b的取值范围是__________．3．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0时，y＝0是所有函数值中__________．而对于f(x)＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中__________．[0，＋∞)(－∞，＋∞)±1[4，＋∞)最小值最大值新知导学1．最大值和最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；对于任意的x∈I，都有f(x)_____Mf(x)_____M存在x0∈I，使得__________结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最_____点的纵坐标f(x)图象上最_____点的纵坐标≤≥f(x0)＝M高低[知识拓展](1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．2．最值定义函数的________和________统称为函数的最值几何意义函数y＝f(x)的最值是图象________或________的纵坐标说明函数的最值是在整个定义域内的性质最大值最小值最高点最低点[归纳总结]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在定义域R上，当a＞0时，最小值是f(－b2a)，不存在最大值；当a＜0时，最大值是f(－b2a)，不存在最小值．●自我检测1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数满足f(x)≥M，则()A．函数y＝f(x)的最小值为MB．函数y＝f(x)的最大值为MC．函数y＝f(x)无最小值D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值[答案]D2．函数y＝2x－1在[－2,3]上的最小值为________，最大值为________．[答案]－553．函数y＝1x在[2,3]上的最小值为________，最大值为________；在[－3，－2]上的最小值为________，最大值为________．[答案]1312－12－134．函数y＝x2－2x－3在[－2,0]上的最小值为________，最大值为________；在[2,3]上的最小值为________，最大值为________；在[－1,2]上的最小值为________，最大值为________．[答案]－35－30－40互动课堂1如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．利用图象法求函数最值●典例探究1[分析]利用图象法求函数最值，要注意函数的定义域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标．[解析]观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值即ymax＝3；当x＝－1.5时取得最小值即ymin＝－2.规律总结：利用图象法求函数最值的方法(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出的函数求最值较常用．(2)图象法求最值的一般步骤是：1作出函数f(x)＝|x－3|＋x2＋6x＋9的图象，并说明该函数的最值情况．[解析]原函数可化为f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝－2x，x≤－36，－3x≤3，2x，x3，图象如图：由图象可知，函数有最小值为6，无最大值.2(1)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．4B．6C．1D．2利用单调性求函数最值2(2)函数f(x)＝1a－1x(x＞0)．①求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②若函数f(x)的定义域和值域都是[12，2]，求a的值．[分析](1)二次函数在闭区间内求最值的关键是什么？(2)题(2)①证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决②是否有作用？[解析](1)f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])为增函数，所以最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(2)＝8＋a＝6.(2)①任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1a－1x1－(1a－1x2)＝1x2－1x1＝x1－x2x1x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数f(x)的定义域与值域都是[12，2]，则f12＝12，f2＝2，即1a－2＝12，1a－12＝2，解得a＝25.规律总结：1.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．2．利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．2(2013～2014包头高一月考检测)已知函数f(x)＝x－1x＋2.(1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数；(2)求f(x)在[3,5]上的最大、小值．[解析](1)任取x1，x2∈[3,5]且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－1x1＋2－x2－1x2＋2＝x1－1x2＋2－x2－1x1＋2x1＋2x2＋2＝x1x2＋2x1－x2－2－x1x2－2x2＋x1＋2x1＋2x2＋2＝3x1－x2x1＋2x2＋2∵x1，x2∈[3,5]且x1x2，∴x1－x20，x1＋20，x2＋20，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴函数f(x)＝x－1x＋2在x∈[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(x)＝25，当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝47.3函数最值的实际应用3某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x400.其中x是仪器的月总量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[分析](1)利润＝总收益－总成本，故f(x)＝R(x)－100x.(2)求分段函数最大值，就是将各段的最大值分别求出，然后取其中最大值的．(3)分析数据：成本、收益――――――――――→利润＝总收益－总成本构造fx解析式――――――――→利润函数单调性求最大值[解析](1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝－12x2＋300x－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，f(x)max＝25000；当x400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)60000－100×40025000.∴当x＝300时，f(x)max＝25000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．规律总结：求解实际问题“四步曲”(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．3某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产1部，需要增加投入25元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为N(x)＝500x－12x2，其中x是产品售出的数量(0≤x≤500)．(1)令x为年产量，y表示利润，求y＝f(x)的表达式；(2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多少？[解析](1)当0≤x≤500时，产品全部售出；当x500时，产品只能销售500部，故利润函数为f(x)＝500x－12x2－5000＋25x，0≤x≤500，500×500－12×250000－5000＋25x，x500＝－12x2＋475x－5000，0≤x≤500，120000－25x，x500.(2)当0≤x≤500时，f(x)＝－12(x－475)2－107812.5；当x500时，f(x)＝120000－25x120000－12500＝107500.所以年产量为475部产品时，利润最大，最大利润为107812.5元．●误区警示易错点误用“∪”连结具有相同单调性的不同区间4写出函数y＝1x＋1的单调区间．[错解]函数y＝1x＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．∵y在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上也是减函数，∴函数y＝1x＋1的单调减区间是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．[错因分析]错误地将函数的两个减区间“并”起来了，不符合单调性定义．[思路分析]判断函数的两个具有相同单调性的区间能否合并，可结合图象或者进一步利用单调性定义证明．不能合并时，将两个区间分开写，中间用逗号隔开即可．[正解]函数y＝1x＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．∵y在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是减函数，所以函数y＝1x＋1的单调区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)．1函数y＝x－1的增区间为________．[答案][1，＋∞)随堂测评1．函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()A．f(32)，f(－32)B．f(0)，f(32)C．f(－32)，f(0)D．f(0)，f(3)[答案]B2．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最值情况是()A．无最大值，最小值是1B．无最大值，最小值是3C．无是大值，也无最小值D．不能确定最大、最小值[答案]B[解析]∵x∈N*，且函数在(0，＋∞)上单调递增，故函数在x＝1时有最小值3，无最大值．3．函数f(x)＝2＋bx在[－2,2]上的最大值与最小值的差为4，则b的值是()A．1B．－1C．1或－1D．0[答案]C[解析]由题意知