巧用向量方法解决最值问题

巧用向量方法求解决最值问题梁常东1蒋晓云2（1钦州师专数学与计算机科学系广西钦州5350002桂林师专数学与计算机科学系广西桂林541001）在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。1利用向量的数量积求最值设向量),,(yxm，),(ban则nm与的数量积为：byaxnmnmnm,cos，从而有：nmnm,当且仅当同向时取等号与nm（1）22222222)(,babyaxyxnnmm即,当且仅当同向时取等号与nm（2）完全类似地，设向量),,(zyxm，),,(cban，则nm与的数量积为：czbyaxnm，从而也有：nmnm,当且仅当同向时取等号与nm；2222222222)(cbaczbyaxxyxnnmm即，当且仅当同向时取等号与nm。在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：例1设yx,R+,且102yx,求函数22yxw的最小值。解:设)2,1(),y(x,nm,由定义有：5,,1022222nyxmyxnm从而22222nnmmyxw=205102,当且仅当nm与同向,即021yx时取等号，所以当5.2,5yx时，22yxw取得最小值20。例2设0,,321ccc且c332221xcxcxc为正的常数c,求函数y=233222221xcxcxc的最小值。解:设),,(),,,(321332211cccnxcxcxcm,则32123212332221222233222211cccccccxcxcxcnnmmxcxcxcy当且仅当nm与同向时,即0321xxx取等号，所以当321xxx321cccc时，y取得最小值3212cccc。例3若Rzyx,,,且1zyx，求242424111xxzzzyyyxw的最小值。解：设,1,1,1222222xxzzzyyyxm)1(,)1(,)1(222xxzzyyn2222222222222222222111111xxzzyyzyxnnmmxxzzzyyyxw）（）（）（8133333223332222zyxzyxzyxzyxzyxzyx（*）即81111,,222222222xxzzzyyyxwRzyx）（）（）（，总有对任意的，当31zyx时，（*）后一个不等式取等号，这时w刚好取得最小值81。2利用向量的三角不等式求无理多项式的最值向量三角不等式主要有以下四个:(1)nmnm,当且仅当nm与同向时取等号；(2)nmnm,当且仅当nm与反向时取等号；(3)nmnm,当且仅当nm与反向时取等号；(4)nmnm,当且仅当nm与同向时取等号。利用这些不等式来求一类无理式的最值，常可以简化运算，收到事半功倍的效果。关键是注意它们在什么条件下等号成立。例4当x为何值时，函数261013422xxxxy有最小值，并求出这个最小值。分析：因函数261013422xxxxy含有无理式，利用凑配技巧来求最值比较麻烦，下面利用向量的数量积来求解。解:将函数变形为2222)1(532xxy，设)1,5(),3,2(xnxm，则有2222)1(532xxy=54322nmnm，当且仅当nm与反向，即01352xx时取等号；所以417x时，原函数的最小值为5。例5已知实数yx,满足条件10yx，求42522yxz的最大值。解:4)10(254252222xxyxz,令)2,10(),5,(xnxm则1093104252222nmnmyx（**）,,Ryx对任意的总有1094254252222yxyxz当且仅当nm与反向，即01352xx时（**）取等号，即当350x，320y时，42522yx有最大值为109，且42522yx，这时42522yxz=42522yx取到最大值109。例6已知yx,是小于1的数，求222222221111yxyxyxyxz的最小值。分析:因为43214321xxxxxxxx，问题转化为如何设4,3,2,1,ixi，使z4321xxxx，且4321xxxx中不含yx,，还要保证这4个向量同向，此时才能取等号。解:设)1,1(),1,(),,1(),,(4321yxxyxxyxxyxx,则4321222222221111xxxxyxyxyxyxz2222224321xxxx,当21yx时，上述4个向量同向，函数Z取得最小值为22。