1.4-条件概率

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率比如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，这种概率问题就是§1.4条件概率(1)求取到的零件是正品的概率；设A={取到的是正品}，例1.4.1*两台车床加工同一种零件(见表)B={取到的是第一台车床加工的}，从这100个零件中任取1个，解.85.010085容易看到P(A)≠P(C)正品数次品数总计第一台加工的零件第二台加工的零件总计355405010608515100(2)若取到的零件是第一台车床加工，求它是正品的概率.(1)P(A))|(BAP(2)∵取到的正品零件是由第一台车床加工，.875.04035)(CPC={已知取到的是第一台车床加工，它为正品}，则P(A|B)在B发生的条件下A发生的概率在缩小的样本空间里来考虑问题包含的样本数缩减的样本空间包含的样本数发生条件下在BABBAP)|(4035)|(BAP1004010035()PBP(C)()PAB即此点必属于AB.为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,B设A、B是两个事件，)()()|(BPABPBAPA为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.定义1.4.1且P(B)0,则称AB在事件B已发生的条件下,条件概率的性质满足概率的三条公理1.对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;2.P(|B)=1；3.设A1,…,An,…互不相容，则P[(A1∪…∪An∪…)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)+…自行验证是概率概率的性质都适用于条件概率用古典概型的思想去理解：每一个随机试验都是在一定条件下进行的，P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小.P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.条件概率P(A|B)与P(A)的区别？现从这20套题中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套，=—,2)在减缩的样本空间中(加入条件后改变了的情况)直接计算.1)在原样本空间中直接用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0；例1.4.2*有20套试题，其中7套已在考试中用过.12,9539A1发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A2所含样本点个数条件概率的计算解设Ai={第i次取到的是未曾用过的试题}，问在第一次取到的是未曾用过的试题的情况下,第二次取到的也是未曾用过的试题的概率是多少？i=1,2.方法1)P(A1)P(A1A2)192012131320方法2).1912)()()|(12112APAAPAAP的点数20=——19.1912)|(12AAP由条件概率的定义即若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(1))()()|(BPABPBAP而P(AB)=P(BA)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).对调A、B的位置，则有故P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)(1)和(2)式统称为乘法公式,利用它可计算两个事件同时发生的概率二、乘法公式即若P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)可清晰地看到P(AB)与P(A|B)的区别！涉及A与B同时发生时，用P(AB)；有主从关系时，用P(A|B).推广到多个事件的乘法公式:当P(A1A2…An-1)0(?)时，有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An-1)证明：)()()()()()()()()|()|()|()(121121121213211211121213121nnnnnnnAAAAPAAAPAAAAPAAPAAAPAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAP现从中连续取3次，每次不放回地取1件，例1.4.3设有100件产品，其中有10件次品.则所求概率为：解设Ai={第i次取到的是次品},求第3次才取到次品的概率.i=1,2,3.)(321AAAP)|()|()(213121AAAPAAPAP,10090)(1AP,9989)|(12AAP,9810)|(213AAAP.0826.09810998910090)(321AAAP乘法公式的应用当P(A1A2…An-1)0时，有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An-1)颜色的球.记Bi为“第i次取出的是黑球”，Rj为“第j次取出的是红球”.若连续从罐中取出三个球，其中两个红球一个黑球。求概率P(B1R2R3)、P(R1B2R3)和P(R1R2B3).例1.4.4——波利亚罐子模型,211)(321rbbrbrrbrBRRP)(321BRRP)|()|()(213121RRBPRRPRP一个罐子中包含b个黑球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球，和d个另一rbrdcrbcr,222dcrbdb(1)当c=-1,d=0时，为不返回抽样.(2)当c=0,d=0时，为返回抽样.,)(/)(32321rbbrBRRP(3)当c0,d=0时，为传染病模型.(4)当c=0,d0时，为安全模型.,2)(321crbbcrbcrrbrBRRP.22)(321drbdbdrbrrbrBRRPniiBAPAP1)()(乘法公式])|()([1iiniBAPBP设B1,B2,…,Bn是的一个分割，且,1niiB1.4.3、全概率公式定义若n个事件B1,B2,…,Bn互不相容，且满足则称B1,B2,…,Bn为的一个分割.P(Bi)0，i=1,2,…,n,对任一事件A，显然A=AniiBA1niiBA1)(,))((jijiBAABBB,),2,1,,(njiji)(1iniBAP则AB2B1B3Bn-1Bn性质1.4.3有niiiBAPBPAP1)|()()(全概(率)公式全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和它的理论和实用意义在于:在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某些Bi出现.适当地去构造分割Bi是解决问题的关键.最简单形式：若0P(B)1,则)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP例1.4.5(摸彩模型)设在n张彩票中有一张奖券，求第二个人摸到奖券的概率.,01)(,01)(11nnAPnAP因为)|(12AAP)|(12AAP所以由全概率公式)|()()|()()(1211212AAPAPAAPAPAP11101nnnn.1n解：设Ai表示事件“第i个人摸到奖券”，i=1,2,…,n.问题是求P(A2).因为A1是否发生直接关系到A2发生的概率，即同理)|()()|()()(21321213213AAAPAAPAAAPAAPAPnAPAPAAP/2)()()(2121nnAAPAAP/)2()(1)(2121),2/(1)|(,0)|(213213nAAAPAAAP.121202)(3nnnnnAP因为所以同理可得./14321nPPPPPn0)1/(1n转化到将一个难求的概率n个容易求的概率上去如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，某一事件A的发生有各种可能的原因(如n个)，由于每一原因都可能导致A发生，P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)我们再换一个角度去理解全概率公式:即有全概率公式.则Bi导致A发生的概率是niiiniiBAPBPABPAP11)|()()()(这n个原因往往就是所找的分割1BA2B3B4B1AB2AB4AB3AB解：设B为事件“被检查者患肝癌”,A为事件“化验结果呈阳性”。则由题意知例1.4.6*某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明,化验结果是存有错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性.现对某人进行化验检查，其结果呈阳性的概率是多少？)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP)|(BAP,99.0)(BP,0004.0)(BP)|(BAP0013956.0001.09996.099.00004.0,001.0999.01,9996.00004.01所以由全概率公式可得知“原因”求“结果”例1.4.7P47Bi的先验概率Bi的后验概率它是在已知事件A发生的条件，通过计算后验概率来寻找导致A发生的某原因Bi的可能的大小，性质1.4.4(贝叶斯公式或逆概公式)设B1,B2,…,Bn是样本空间的一个分割，且P(Bi)0,i=1,2,…,n，如果P(A)0,则即P(Bi|A)..)|()()|()()()()|(1njjjiiiiBAPBPBAPBPAPABPABP.)|()()|()()|(1njjjiiiBAPBPBAPBPABP证明：由条件概率、乘法公式和全概率公式可得1BA2B3B4B1AB2AB4AB3AB知“结果”求“原因”解：设B为事件“被检查者患肝癌”,A为事件“化验结果呈阳性”。则由题意知例1.4.8某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明,化验结果是存有错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性.现某人化验结果呈阳性，问他真的患癌症的概率是多少？)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP)|(BAP,99.0)(BP,0004.0)(BP)|(BAP284.0001.09996.099.00004.099.00004.0,001.0999.01,9996.00004.01所以由贝叶斯公式可得知“结果”求“原因”对首次检查得阳性的人群再进行复查，此时P(B)=0.284。再用贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP997.0001.0716.099.0284.099.0284.0直接计算小结：古典概型几何概率条件概率Bayes公式全概率公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B)niiiBAPBPAP1)|()()(P(AB)=P(A)P(B|A)，(P(A)0)njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|()()()|(BPABPBAP等可能性)(中的样本点总数包含的样本点数AAP的度量的度量AAP)(利用下一节中事件的独立性，可以简化事件交的概率计算在缩减的样本空间里直接计算用定义有主从关系的简单条件概率问题复杂条件概率问题：知“结果”求“原因”求事件交的概率知“原因”求“结果”推算概率计算重要公式有限个样本点无限个样本点，且Ω可度量常用排列组合公式计算样本点的个数所有Bi必须构成“分割”作业：P511、11P5216