1.3-概率的性质

§1.3概率的性质(2)P()=1，(3)若事件A1,A2,…,An,…两两互不相容，则有)()()()(2121nnAPAPAPAAAP(1)若事件AF，则P(A)0，定义:设是一个样本空间,F为的某些子集组成的一个事件域,若定义在F上的一个实值函数P满足：称P为可测空间(,F)上的概率,P(A)为事件A的概率，称三元素(,F,P)为概率空间.非负性正则性可列可加性性质1.3.1P(Ø)=0证明：因为Ω=Ω∪Ø∪Ø∪Ø∪…而不可能事件与任何事件都是互不相容的，所以由可列可加性公理得P(Ω)=P(Ω∪Ø∪Ø∪Ø∪…)=P(Ω)+P(Ø)+P(Ø)+P(Ø)+…又因为P(Ω)=1，P(Ø)≥0，所以P(Ø)=0证毕.不可能事件的概率为0.概率为0的事件一定是不可能事件吗？比如：向区间[0,1]上随机投点(其坐标记为x),则点x落在[0.2,0.5]内和落在[0.2,0.5）和内的概率皆为0.3.这说明事件“x=0.5”的概率为0,但它是可能发生的。必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件.如：事件“点落在[0,1)内”的概率为1，但它不是必然事件.概率为0的事件不一定是不可能事件！几何概型性质1.3.2(有限可加性)若有限个事件A1,A2,…,An两两互不相容，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)证明：P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1∪A2∪…∪An∪Ø∪Ø∪Ø…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+P(Ø)+P(Ø)+P(Ø)+…性质1.3.3(余概公式)对任何事件A，有P(Ā)=1-P(A).证明：因为A和Ā互不相容，且Ω=A∪Ā.所以1=P(Ω)=P(A∪Ā)=P(A)+P(Ā)因此，有P(Ā)=1-P(A).ＡA例1.3.136个灯泡中4个是60W，其余是40W的.现从中任取3个，求事件A=“至少取到一个是60W灯泡”的概率.解：事件A包括三种情况：一个60W两个40W；两个60W一个40W；三个60W.而事件A的对立事件Ā=“取出的三个灯泡全部是40W”.所以，.695.0)(336332CCAP因此，.305.0)(1)(APAP所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式可能更简单。ＡBAB证明：因为A=(A-B)∪AB,且A-B与AB互不相容，所以性质1.3.5对任意两个事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB).P(A)=P((A-B)∪AB)=P(A-B)+P(AB).因此,P(A-B)=P(A)-P(AB).证毕.性质1.3.4若BA，有P(A-B)=P(A)-P(B).ＡＡ-BB推论(单调性)若BA，有P(B)≤P(A).利用性质1.3.4，可求一些较为复杂的例子.比如：例1.3.3口袋中有编号为1,2,…,n的n个球，从中有放回的任取m次。求事件Ak=“取出的m个球的最大编号为k”的概率.解：直接考虑事件Ak比较复杂，因为它包括：取到最大编号为1次k，2次k，…,m次k.为此，记事件Bi=“取出的m个球的最大编号小于等于i”.则事件Bi发生只需从1,2,…,i号球中有放回的任取m次。所以，.,,2,1,)(niniBPmmi.11kkkkkBBBBA且又因为所以.,,2,1,)1()()()()(11nknkkBPBPBBPAPmmmkkkkk.)()1()()1()()()()(2111111112121nnnmmmmmmrnkjikjinjijiininiiAAAPAAAPAAAPAAPAPAPrr性质1.3.2(可加性)若有限个事件A1,A2,…,An两两互不相容，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)性质1.3.6(加法公式)对任意事件A，B有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),（1.3.5）对任意事件A1,A2,…,An有P(A∪B∪C)=(1.3.6)–[P(AB)+P(BC)+P(AC)]+P(ABC)ＡBAB[P(A)+P(B)+P(C)]任取r个事件交的概率和证明：因为A∪B=A∪(B–A)且A与B–A互不相容.所以由有限可加性和性质1.3.5得P(A∪B)=P(A∪(B–A))=P(A)+P(B–A)=P(A)+P(B)-P(AB)(1.3.5).)()1()()1()()()()(2111111112121nnnmmmmmmrnkjikjinjijiininiiAAAPAAAPAAAPAAPAPAPrrＡBAB111111111111()(())()()(())()()()(*)kkkkiikikikiiiikkikikiiAAAAAAAPPPPPAAAAPPP用数学归纳法可证.推论(半可加性)对任意事件A，B有P(A∪B)≤P(A)+P(B)对任意事件A1,A2,…,An有)7.3.1().()(11ininiiAPAP)()()()()()()()()(111111111111kiikkiikikikikikikiikiAPAPAPAPAPAAPAPAPAP证明：因为对任意事件A，B有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)而P(AB)≥0,所以P(A∪B)≤P(A)+P(B).对(1.3.7)式用数学归纳法证明.当n=2时，结论成立.假设当n=k时，结论成立,即11()().kkiiiiAPAP当n=k+1时，由(*)式可得证毕.并的概率小于等于概率的和(3)解(1)(2)),(BAP设P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,求P(AB),例1.3.4).(BAP,)()()()(ABPBPAPBAP)()(PP)()()()(BAPBPAPABP=0.4+0.3-0.6=0.1;由加法公式ＡBBAABBA)()(ABPAP=0.4-0.1=0.3;)(BAP余概公式)(])(1[)(BAPBPAP=0.4+(1-0.3)-0.3=0.8;)()()(BAPBPAPＡB例1.3.5已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/16.则A、B、C中至少有一个发生的概率p1是多少？A、B、C都不发生的概率p2是多少？解：由加法公式可得p1=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC)因为ABCAB，且P(AB)=0.所以P(ABC)=0.因此，p1=1/4+1/4+1/4-[0+1/16+1/16]+0=5/8.所以，A、B、C都不发生的概率p2=1-p1=3/8.例1.3.6(配对问题)在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同.晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，问至少有一个人抽到自己礼物的概率是多人。,1!)!1()()()(21nnnAPAPAPn解：用Ai表示事件“第i个人自己抽到自己的礼物”，i=1,2,…,n.则所求的概率为)(21nAAAP,,!)!3()()()(12421321nnAAAPAAAPAAAPnnn.因为,!)!2()()()(13121nnAAPAAPAAPnn,!1)(21nAAAPn!1)1(!)!3(!)!2(1)(132121nCnnCnnCnCAAAPnnnnnnn!1)1()!1(1)1(!41!31!21112nnnn所以由概率的加法公式可得此类问题不适合用余概公式可理解为n个人在n个礼物处的全排列.1.3.4概率的连续性定义1.3.1：(1)对事件域F中的任一单调不减的事件序列F1F2…Fn…,称为{Fn}的极限事件，记为(2)对事件域F中的任一单调不增的事件序列E1E2…En…,称为{En}的极限事件，记为1nnEnnnnFF1limnnF11limnnnnEEΩF3F2F1ΩE1E2E3极限事件也是随机事件定义1.3.2：对事件域F上的一个概率P,(1)若它对事件域F中的任一单调不减的事件序列{Fn}F1F2…Fn…,均成立则称概率P是下连续的.(2)若它对事件域F中的任一单调不增的事件序列{En}E1E2…En…,均成立则称概率P是上连续的.)lim()(limnnnnEPEP)lim()(limnnnnFPFP连续概率的极限等于极限的概率结论1.3.7概率P是下连续的概率P是上连续的证明(必要性)：若概率P是下连续的，证P是上连续的.设{En}事件域F中的任一单调不增的事件序列E1E2…En…,则Ē为单调不减的事件序列，Ē1Ē2…Ēn…,因为P是下连续的，所以)(1)()()lim()(lim111nnnnnnnnnnEPEPEPEPEP)(lim1))(1(lim)(limnnnnnnEPEPEP另一方面，所以)lim()()(lim1nnnnnnEPEPEP类似可证充分性。证毕。性质1.3.7事件域F上概率P是下(上)连续的.ΩF3F2证明：设{Fn}事件域F中的任一单调不减的事件序列{Fn},F1F2…Fn…,记F0=Ø，则F1011FFF21101122)()()(iiiFFFFFFF3110112233)()()()(iiiFFFFFFFFFniiinFFF11)(111)(limiiinnnnFFFF因为(Fi-1Fi)，所以(Fi-Fi-1)两两不相容，由可列可加性得.)())(()lim(1111iiiiiinnFFPFFPFPniiinniiinnnFFPFFPFP1111)(lim))((lim)(lim).lim()(11nniiiFPFFP易证证毕.所以可列可加性有限可加性、下连续事件域F上的集函数P非负、P(Ω)=1(2)P()=1，(3)若事件A1,A2,…,An,…两两互不相容，则有1212()()()()nnPAAAPAPAPA(1)若事件AF，则P(A)0，非负性正则性可列可加性性质1.3.8性质1.3.2(有限可加性)若有限个事件A1,A2,…,An两两互不相容，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率P性质1.3.8P是事件域F上满足P(Ω)=1的非负集函数，则它有可列可加性的充要条件是:(1)它是有限可加的；(2)它是下连续的；证明：必要性由性质1.3.2和1.3.7可得.下证充分性.设可列个事件A1,A2,…,An,…两两互不相容，由有限可加性知：对任意有限的n都有.)()(11niiniiAPAP由于上式左端不超过1(？)，所以正项级数收敛，即1)(iiAP.)()(lim)(lim111iiniinniinAPAPAP.,111nnnnniinAFAF易证记则{Fn}是单调不减的事件序列,由下连续性知).()()lim()(lim)(lim)(1111nnnnnnnnniiniiAPF