概率的定义及其确定方法

事件的概率就是事件发生的可能性大小的一个数值度量.更重要的是对事件出现的可能性的大小有一个定量的描述.§1.2概率的定义及其确定方法研究随机现象不仅关心试验中会出现哪些事件，或者某事件发生的可能性大不大，准确了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有重要意义.即只有一个定性的描述是不够的，这就需要有一个度量事件发生可能性大小的数量指标，了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.事件域,若定义在F上的一个实值函数P满足：(2)P()=1，(3)若事件A1,A2,…,An,…两两互不相容，则有1212()()()()nnPAAAPAPAPA(1)若事件AF，则P(A)0，设是一个样本空间,F为的某些子集组成的一个1.2.1概率的公理化定义定义1.2.1称P为可测空间(,F)上的概率,P(A)为事件A的概率，称三元素(,F,P)为概率空间.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.非负性正则性可列可加性由概率的三条公理，我们可推导出概率的若干重要性质.它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.则从甲城到乙城去旅游就有5+3+2=10个班次可供选择.1.2.2排列与组合公式两个基本计数原理.(1)加法原理(分类)：设完成一件事有k种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第k种方式有nk种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nk种方法.例如，甲城到乙城有3条旅游路线，乙城到丙城有2条旅游路线，则从甲城经乙城到丙城就有32=6条旅游路线.则完成这件事共有种不同的方法.knnn21(2)乘法原理（分歩）:设完成一件事有k个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，…；第k个步骤有nk种方法，必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，甲城到乙城去旅游有3类交通工具：汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，此种重复排列的总数为(1)排列从n个不同元素取r个(rn)排成一列(考虑先后顺序)，称其为一个排列.!))((nnnnpPnnn1221排列、组合的定义及其计算公式)!(!)1()2)(1(rnnrnnnnprn(2)重复排列从n个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个，r=n时称全排列.由乘法原理，此种排列的总数为显然如此连续取r次(r可以大于n)所得的排列称为重复排列，rn此种重复组合的总数为由乘法原理，组合总数为此种组合的总数记为或，!!)(!!rrnnrPCrnrn(3)组合rnCrn从n个不同元素任取r个(rn)并成一组(不考虑先后顺序)，称其为一个组合.(4)重复组合从n个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个，如此连续取r次(r可以大于n)所得的组合称为重复组合，rrnC1注意区别有序与无序、重复与不重复.例：将两个相同的球放入三个不同的盛球数不限的盒子中，有多少种不同的放法？例：将两个不同的球放入三个不同的盛球数不限的盒子中，有多少种不同的放法？23216C239重复组合重复排列例：用七种不同颜色中的一种、两种、三种或四种分别涂在正四面体的各个面上，一个面不能用两种颜色，也没有一个面不着色，有多少种着色方法？).(2104104147种CC解法一：这个问题可归结为从七种不同颜色中取出四种颜色的重复组合(?)。所以着色方法有：解法二：取定一种或四种颜色涂在正四面体的四个面上各有一种涂法；取定两种或三种颜色涂在正四面体的四个面上各有3种涂法。所以着色方法有：).(2103337274717种CCCC则称n(A)为事件A发生的频数,称比值为事件A在n次试验中出现的频率,定义1如果在n次重复试验中事件A发生了n(A)次,nAn)(记为fn(A)，nAnAfn)()(即A发生的频繁程度基本性质;1)(0)1(Afn(3)设A1,A2,…,Ak两两互不相容的事件，则;1)()2(nf)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf稳定值非负性正规性有限可加性1.2.3确定概率的频率方法参见P16的三个例子即满足公理化定义.用频率确定概率是一种常用的方法.其基本思想是：(1)与考察事件A有关的随机现象可大量重复进行；(2)人们长期实践表明：随着实验重复次数n的增加，频率fn(A)会稳定在某一常数a附近，称常数a为频率的稳定值；这个频率的稳定值就是我们所求的概率；(3)频率方法的缺点——现实中，人们无法把一个实验无限次地重复下去，因此要精确地得到频率的稳定值是困难的.但频率方法提供了概率的一个可供想象的具体值，并且当实验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值.故称频率为概率的估计值.这正是频率方法最有价值的地方.1.2.4确定概率的古典方法古典方法的基本思想：(1)样本空间只有有限多个样本点，(2)每个样本点发生的可能性相等，;},,,{21n即等可能性这样就把求概率问题转化为计数问题.设事件A由k个样本点组成，即则A的概率为：,},,,{21kiiiA中的样本点总数包含的样本点数Ank)(AP称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.同时掷两枚均匀硬币,求事件A={出现一个正面一个反面}的概率.解同时掷两枚硬币有4个等可能的结果，即样本空间为例1.2.2={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}4个等可能古典概型又事件A包含2个样本点，;2142)(AP排列组合是计算古典概率的重要工具列举法例1.2.3(不放回抽样模型)设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件(不放回),求其中恰有m件次品的概率.,)(nNmnMNmMCCCAP设A={恰抽到m件次品}次品正品N–M件正品解:含的样本点数为,nNC只能取自M件次品A的次品有种取法，mMCA的正品有种取法，mnMNC故A含的样本点数为,mnMNmMCC.},{min,,2,1,0nMm例1.2.4(放回抽样模型)设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取1件后放回，然后再抽取下一个，…，如此重复，直至抽出n件,求事件Bm=“取出的n件产品中恰有m件次品”的概率.,)()(nmmnmnmNMMNCBP所以事件Bm发生必须从N–M件正品中有放回的抽取n-m次，从M件次品中有放回的抽取m次，所以共有种取法。次品正品N–M件正品解：含的样本点数为,nN.,,2,1,0nmmmnmnMMNC)(mmnMMN)(再考虑到这m个次品可能是在n次中的任何m次抽取中得到，共有种可能。故Bm含的样本点数为：mnC例1.2.5(彩票问题)一种福利彩票称为幸福35选7，即从01,02,…,35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码.中各等奖的规则如下，试求各等奖的中奖概率.级别中奖规则一等奖七个基本号码全中二等奖中六个基本号码和特殊号码三等奖中六个基本号码四等奖中五个基本号码和特殊号码五等奖中五个基本号码六等奖中四个基本号码和特殊号码七等奖中四个基本号码，或中三个基本号码和特殊号码,033485.0)(71iipP中奖,73512701673CCCCp,73502701771CCCCp,73502711672CCCCp解：35个号码被分成三种：第一种：7个基本号码；第二种：1个特殊号码；第三种：27个无用号码。设pi为中第i等奖的概率，则.966515.0)(-1)(中奖不中奖PP解：因为每个球都可放到N个盒子中的任一个，所以n个球放的方式共有种,它们是等可能的.例1.2.6(盒子模型)设有n个不同球,每个球都等可能地被放到N个不同盒子的任一个,每个盒子所放球数不限.试求恰好有n个盒子各有一球的概率p?nN完成事件“恰好有n个盒子各有一球”可分两步：第一歩：从N个盒子中任意取n个盒子准备放球；共有种取法.第二歩：将n个球放入选中的n个盒子中；共有种放法.nNC.)!(!!nNNNNPNCnpnnnNnnN所以恰好有n个盒子各有一球的概率为!n有n个人,每个人都以相同的概率被分在N(N≥n)间房的每一间中,求恰好有n间房中各有一人的概率.人房许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型有n个人，设每个人的生日是任一天的概率相同.求这n(n≤365)个人的生日互不相同的概率.（例1.2.7）人任一天有n个旅客,乘火车途经N(N≥n)个车站，设每个人在每站下车的概率相同,求n个站各有一人下车的概率.旅客车站P(A)=——“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.在实际应用中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全地”等可能是很难见到的.在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件再次提醒注意：例掷两枚骰子出现的点数之和等于3的概率.解掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2,3,4,…,12},.111)(AP={(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),…,(6,6)}266.181当样本空间有无限多个等可能的样本点，并且可表示为一个有度量的几何区域时,就形成了确定概率的另一方法——几何方法.它类似于古典概率，仍用“事件的概率”等于“部分”比“全体”的方法来规定事件的概率.不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点是无限的.早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.1.2.5确定概率的几何方法...定义若随机现象E具有以下两个特征：(1)E的样本空间有无穷多个样本点，且可用一个有度量的几何区域来表示；(2)每个样本点出现的可能性相同。则事件A的概率为：有度量的区域事件A对应的区域仍以A表示的度量的度量AAP)(长度面积体积...例1.2.8(会面问题)甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人20分钟，过时即可离开.求两人能会面的概率.解:以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间（以分为单位）。由等可能性知这是一个几何概率问题。所有样本点(x,y)构成的样本空间是一个边长为60的正方形，其面积S=602.而事件A=“两人能会面”相当于.5556.095604060)(222的度量的度量AAP.20||yx其面积为SA=602-402.所以，202006060yxA解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，以表示针与平行线间的夹角，则样本空间满足例1.2.9(蒲丰的针)平面上有间隔为d(d0)的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为L(Ld)的针，求事件A=“针与任一平行线相交”的概率}.2/0,0:),{(dxx.sin2Lx.22sin2)(0dLddLSSAPA事件A发生的充要条件为：由于针是任意投的，所以由等可能性知这是一个几何概率问题。因此，0xd2sin2L蒙特卡罗法P270xa,0ya,0a-x-ya，而三条线段能构成三角形的条件是：yxyxayxaxyyxayx0)(0)(0由几何概型计算得所求概率为0xyaay=a-xa/2a/2例1.2.10在长度为a的线段内任取两点将其分为三段，求它们可以构成一个三角形的概率.ayxaayax2/2/02/0即解：分别用x,y和a-x-y表示线段被分成的三段的长度。则由于是将线段任意分为三段，所以由等可能性知这是一个几何概率问题。所以样本空间为={(x,y)|0xa