2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷III)

理科数学试题第1页（共6页）绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合*,,,AxyxyNyx，,8Bxyxy，则AB中元素个数为A．2B．3C．4D．62．复数113i的虚部是A．310B．110C．110D．3103．在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A.14230.1,0.4ppppB．14230.4,0.1ppppC．14230.2,0.3ppppD．14230.3,0.2pppp4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数tI（t的单位：天）的Logistic模型：0.23531tKIte，其中K为的最大确诊病例数.当0.95ItK时，标志着已初步遏制疫情，则t约为（ln193）A．60B．63C．66D．69理科数学试题第2页（共6页）5．设O为坐标原点，直线2x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为A．(14,0)B．(12,0)C．(1,0)D．(2,0)6．已知向量a,b满足5a，6b，·6ab，则cos(,)aabA．3135B．1935C．1735D．19357．在△ABC中，2cos=3C，4AC，3BC,则cosBA．19B．13C．12D．238．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．6+42B．442C．623D．4239．已知2tantan()74，则tanA．-2B．-1C．1D．210．若直线l与曲线yx和圆2215xy都相切，则l的方程为A．21yxB．122yxC．112yxD．1122yx11．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F,2F，离心率为5.P是C上一点，且12FPFP.若△12PFF的面积为4，则aA．1B．2C．4D．812．已知5458，45138，设5log3a，8=log5b，13log8c，则A．abcB．bacC．cbaD．cab理科数学试题第3页（共6页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x,y满足约束条件x02x01yyx，则32zxy的最大值为_____.14．262x)x（的展开式中常数项是______（用数字作答）.15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为____.16．关于函数1()sinsinfxxx有如下四个命题：①()fx的图像关于y轴对称.②()fx的图像关于原点对称.③()fx的图像关于直线2x对称.④()fx的最小值为2.其中所有真命题的序号是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设数列na满足13a，134nnaan.(1)计算2a，3a，猜想na的通项公式并加以证明；(2)求数列2nna的前n项和nS.理科数学试题第4页（共6页）18．（12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0,200]（200,400]（400,600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828理科数学试题第5页（共6页）19.（12分）如图，在长方体ABCD-1111ABCD中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，且12DEED，12BFFB.（1）证明：点1C在平面AEF内；（2）若2AB，1AD，13AA，求二面角1AEFA的正弦值.20.（12分）已知椭圆C:222125xym(05)m的离心率为154，,AB分别为C的左、右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且||||BPBQ,BPBQ⊥，求APQ△的面积.理科数学试题第6页（共6页）21.(12分)设函数3()fxxbxc,曲线()yfx在点11(,())22f处的切线与y轴垂直．(1)求b；(2)若()fx有一个绝对值不大于1的零点，证明:()fx所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为=2--=2-²3²+xytttt（t为参数且1t）C与坐标轴交于,AB两点.(1)求||AB.(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）设,,abcR，0abc，1abc.(1)证明：0abbcca；(2)用max,,abc表示,,abc的最大值，证明：max,,abc34