概率论习题试题集3

1第三章多元随机变量及其分布一、填空题1.设随机变量)1,2(~),1,3(~NYNX，且X与Y相互独立。若72YXZ，则_________~Z。2.设随机变量（X，Y）在区域}1),{(2222byaxyxD上服从均匀分布，则),(YX的分布密度为),(yxf3.已知随机变量X与Y相互独立，)3,2,1()(,)(2kkbkYPkakXP，则___________________,ba；联合概率分布为_________；YXZ的概率分布为____________。4.已知其他,04,0),sin(),(~),(yxyxcyxfYX，则____c，Y的边缘分布___________。5.设随机变量),(YX的联合密度函数其他,01),(),(2222yxyxAyxf，则________A，_____________)91(22YXP。5.设随机变量X与Y相互独立，且服从同分布21)1()1()1()1(YPXPYPXP，则_________)(YXP。6.若nXXX,,21是正态总体),(2N的一组简单随机样本，则)(121nXXXnX服从____________。7.如果YX,相互独立，其分布密度用下列表格给出，（YX,）（1，1，）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）P619118131则_________________,。8.设（YX,）的分布密度:(X,Y)(-2,-1)(-2,1/2)(-2,3)(-1,-1)(-1,1/2)(-1,3)(0,-1)(0,1/2)(0,3)2P12112212212112101230122则YXZ的分布为______________；YXU的分布为______________。10.设相互独立的随机变量YX,服从同一分布，且5.05.010,5.05.010PYPX，则随机变量),(YXMaxZ的分布律为_____________。二、选择题1.设随机变量（YX,）的联合分布密度函数为),(yxF，则__________),(bYaXP。（A）),(1baF；（B）),(),(bFaF；（C）),(),(1),(bFaFbaF；（D）),(),(1),(bFaFbaF。2.设（YX,）的联合分布函数为),(yxF，则其边缘分布函数_______________)(xFX。（A）),(limyxFx；（B）),(limyxFy；（C）),0(yF；（D）)0,(xF3.设随机变量（YX,）只能取下列数值中的值：)1,2(),0,2(),1,0(),0,1(，且取这些值的相应概率依次为cccc45,41,21,1，则c（）。（A）2；（B）3；（C）4；（D）54.设随机变量YX,相互独立，且8.02.010~,8.02.010~YX，则必有（）（A）YX；（B）0)(YXP；（C）68.0)(YXP；（D）1)(YXP。5.设随机变量（YX,）在区城}20,10),{(yxyxG上服从均匀分布，则)(2XYP=（）（A）61；（B）31；（C）32；（D）656.设随机变量YX,相互独立，且)2,1(~),2,1(~NYNX，则（）（A）21)0(YXP；（B）21)1(YXP；（C）21)0(YXP；（D）21)1(YXP。三、计算题31.将A，B两枚硬币各投掷一次，以X表示A币得到的正面数，以Y表示A，B两枚硬币得到的正面总数，求（X，Y）的联合分布律及边缘分布律。2.设随机变量（X，Y）在区域}20,10),{(yxyxG上服从均匀分布，求)(2XYP。3.设（X，Y）的联合密度函数)(,0)0,0(,),(32其他yxAeyxfyx，求：常数A；（2）)2,1(YXP（3）)(),(yfxfYX；（4）)3(YXP。4.设随机变量YX,相互独立，其密度函数分别为)(,0)10(,2)(,)(,0)21(,31)(其他其他yyyfxxfYX，求YXZ的密度函数)(zfZ。5.设两个独立的随机变量YX,的分布4.06.042~,7.03.031~YX，求随机变量YXZ的分布律。6.设两个独立的随机变量YX,其概率密度分别为0,00,)(,,010,1)(yyeyfxxfyYX其他，试求随机变量YXZ的概率密度。7.设甲乙两人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X，Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X，Y的联合分布律。8.已知1)0(21XXP且5.05.010~,25.05.025.0101~21XX；求：（1）1X与2X的联合分布律；（2）问1X与2X是否相互独立？为什么？9.盒子里装有3个黑球，2个红球，2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取到红球的个数，试求PXY10.设随机变量(,)XY的联合密度函数为(6),02,24,,0,kxyxypxy其他试求（1）常数k;4（2）1,3PXY;（3）(1.5)PX;（4）(4)PXY.11.设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为6(1),01,,0,yxypxy其他（1）求(0.5,0.5)PXY;（2）求(0.5)PX和(0.5)PY;（3）求(1)PXY.12.设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为2,01,02,,30xyxxypxy其他求(1)PXY.13.设二维离散随机变量(,)XY的可能取值为(0,0)，(1,1)，(1,2)，(1,0)，且取这些值的概率依次为16，13，112，512，试求X与Y各自的边际分布列。14.如果二维随机变量(,)XY的联合分布函数为121212max,,0,0,1(,)0,xyxyxyxyeeeFxy其他试求X与Y各自的边际分布函数。15.求以下给出的(,)XY的联合密度函数的边际密度函数()Xpx和()Ypy：225,01(,),40,xyyxpxy其他16.设随机变量X与Y相互独立，其联合分布列为5YX1y2y3y1x2xa19c19b13试求联合分布列中的a,b,c17.设随机变量(,)XY的联合密度函数为3,01,0,,0xxyxpxy其他试求（1）边际密度函数()Xpx和()Ypy;（2）X与Y是否独立？参考答案:一、填空题1.)5,0(N;2.DxDxabyxf,0,1),(;3.4936,116ba;联合分布：XYY-1-2-31ab4ab9ab22ab8ab18ab33ab12ab27abYXZ的概率分布：aZ72126251662421012~，5391.4.40),8sin(22)12()(,12yyyfcy.5.811)91(,222YXPA.6.21.67.),(2N8.91,929.122122122121121121123532523101122122121122123121121312123123PYXPYX10.75.025.010PZ。二、选择题：1)C；2)B；3）B；4）C；5）D；6）C。三、计算题1.412141210~,212100~YX2.653.)0(,0)0(,23)(;)0(,0)0(,2)();1)(1(;63262yyeyfxxexfeeAyYxX；96231ee4.3,032,1313420,3101,)1(311,03,032,)(3220,)(3201,)(321,0)()()(222111zzzzzzzzzzdxxzzdxxzzdxxzzdxxzfxfzfzzzzYXZ。5.28.042.012.018.0)4,3()2,3()4,1()2,1(,PYX，28.054.018.0753PYX6.1),1(10,10,01,10,0,0)()()(10)(0)(zeezezzdxezdxezdxxzfxfzfzzxzzxzYXZ。7.)5.0,2(~),2.0,2(~BYBX，YX,独立。704.032.064.0210PX，25.05.025.0210PY，XYY01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.018.由于0)0(1)0(2121XXPXXP，于是2X1XY-101)(2jXxP00.2500.250.5100.500.5)(1iXxP0.250.50.2519.解()(1,1)(2,2)322322112220=7744639=0.2571353535PXYPXYPXY10.解（1）由242020(6)(62)81kxydydxkxdxk，解得18k（2）131020113(1,3)(6)(3.5)888PXYxydydxxdx（3）1.541.50201127(1.5)(6)(62)8832PXxydydxxdx（4）(,)pxy的非零区域与4xy的交集如图1的阴影部分，8图1由图1得24022201(4)(6)812=(0.546)83xPXYxydydxxxdx11.解（1）(,)pxy的非零区域与0.5,0.5xy的交集为图2（a）阴影部分，所以10.50.5120.5(0.5,0.5)6(1)1=6(1.50.5)8yPXYdyydxyydy（2）(,)pxy的非零区域与0.5x的交集为图2（b）阴影部分，所以0.510.5200117(0.5)6(1)=6()228xPXdxydyxxdx又因为(,)pxy的非零区域与0.5y的交集为图2（c）阴影部分0.50.50.5200131(0.5)6(1)=6()282xPYdxydyxxdx（3）(,)pxy的非零区域与1xy的交集为图2（d）阴影部分，所以0.510.50013(1)6(1)=6()24xxPXYydydxxdx9图2（a）图2（b）图2（c）图2（d）12.解(,)pxy的非零区域与1xy的交集为图3阴影部分，所以12122221010113243200(1)()()3654154165=632249472xxxyxPXYxdydxxyydxxxxdxxxx图31013.解由题设条件知，(,)XY的联合分布列为XYY\012-101/31/1201/60015/1200在上面表格中按行相加，得X的边际分布列；按列