余弦定理(第1课时)教学案2011.3.12

余弦定理（第1课时）（张继海）2011.3.12四川省平武中学同学们，大家上午好！我是绵阳市教科所一名数学教研员，今天非常荣幸能和同学们一块学习、讨论一节数学课．我们学习讨论的课题是——余弦定理（第一课时）（板书）．一、引入：在初中，我们通过“边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边”等判定定理，完全能够判定（证明）两个三角形全等，具体定性．．刻画三角形的大小与形状．a2=a·a=︱a︱2．上节课我们学习了正弦定理，它能定量．．刻画“角边角、角角边、边边角”的问题，那么要定量刻画“边角边、边边边”的大小数量问题，又有怎样的“定理”呢？二、学生看书第5页从“思考起→c2=a2+b2－2abcosC”止．教师点明看什么？如何看？看了记什么？三、启导：△ABC中，已知边AC=b，BC=a，角∠C，求AB边．（教师板书启示，图示）．由于涉及边长问题，所以我们可以考虑用向量的数量积，或者转化为直角三角形的边间关系（勾股定理），或者将其纳入直角坐标系中加以解决．如图，由“三角形法则”得0CABCAB，∴)(CABCAB，于是)()(||2CABCCABCABABABCABCCABC2||||22，∴c2=a2+b2－2CB·CA=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．教师引导学生理解上述公式：（1）用两边a、b及其夹角C来表示角C的对边c；（2）字母、次数、符号等的变化规律；（3）语言叙述；（4）由0CABCAB可推出其它的呢？四、总结得：余弦定理.cos2,cos2,cos2222222222CabbacBcaacbAbccba三角形中，任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦乘积的两倍．（1）记忆方法：（2）余弦定理的再证：过点A作AD⊥BC，D在BC边长上或延长线上．∵Rt△ACD中，有AD=bsinC，CD=bcosC，∴︱BD︱=︱a－bcosC︱，于是在Rt△ABD中，有c2=(bsinC)2+(a－bcosC)2，五、余弦定理的应用：由于余弦定理反映的是，已知两边及其夹角，求第三边，所以余弦定理可以解aCBAcbaCBAcbDbca决：已知两边和它们的夹角解三角形（这类问题）．例1在△ABC中，已知6a，31b，C=45，求c，A，B（解三角形，也可以不写出求什么）．审题，分析：这是“已知两边及其夹角”类型，所以可用余弦定理先求出边c，再解得其它的边或角．解由余弦定理，得c2=a2+b2－2abcosC=22)31(62)31(62=4，（心算口算加笔算）∴c=2．（注意到c＜a＜b隐含条件）注意到c＜a＜b，∴角C＜A＜B，若先求最大角，则得462222)31(sinsincCbB，（下文不好求啊！）所以由正弦定理得CcAasinsin，即232226sinsincCaA，因此A=60，进而B=75．小结：（1）认清模式，直代公式，大胆联想，小心运算．（2）可进一步求三角形的其它元素．学生练习在△ABC中，已知b=56，c=44，A=60，求a，B，C（课本7页例3改变）．提示：a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－bc=(b+c)2－3bc=2608等．六、小结：余弦定理→形式→记忆→证法→应用（常常与正弦定理结合）．七、作业：教材第10页习题1.1A3（1），（2），（3），改变角的度数．教学参考书第5页例1（1），例2，第7页第1、5、7．板书设计余弦定理1．三角形全等判定，正弦定理，︱a︱2=a2=a·a．2．余弦定理.cos2,cos2,cos2222222222CabbacBcaacbAbccba形式、结构、记忆、证法、应用3．余弦定理的应用例1及其解答课后教学感想1．尽量通过复习旧知识，沟起学生对课题的兴趣，及参与；2．特别注重思维教学的时时关注、渗透与融入；3．模型化；4．审题、隐含条件；5．余弦定理的几何证法、计算器的使用等；6．以学生学法为主题．（1）教学节奏的把握；（2）作业布置．