必修五基本不等式归纳教师版

基本不等式知识点：基本不等式1．如果,abR2abab（当且仅当时取“=”号）.2．如果,abR22abab（当且仅当时取“=”号）.在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。说明：利用基本不等式求条件最值的方法(1)消元法．通过代换消去其中一个变量，将其转化为求函数的最大(小)值问题．(2)配凑法．根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件．(3)构造法．通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式．类型一：利用（配凑法）求最值1．求下列函数的最大（或最小）值.（1）求11xx（x0）的最小值；解析：函数111111yxxxx，由于0x，则11x，即有12111,1yxx当且仅当111xx即0x时，有最小值1（2）若x0,0,24,xyyxy求的最大值解析：211212422222xyxyxy（3）解析：322626446abab.b2a34abb,a的最小值，求是正数且（4）若实数a,b满足a+b=2,求3a+3b的最小值。解析：因为33233236ababab，所以33ab的最小值为6，当且仅当1ab时等号成立。（5）设x,y满足x+4y=40,且x0,y0则lgx+lgy最大值是（）解析：lglglg,xyxy因为440xy所以22114140lglg4lglg24242xyxyyx。（6）已知lgx+lgy＝1，yx25的最小值是______.解析：由lglg1,xy得0,0,xy且lg1,xy即10xy所以525222xyxy当且仅当52,10,xyxy即5,2xy等号成立因此最小值为2。类型二：含“1”的式子求最值2．已知且，求的最小值.解析：∵191xy∴19991010216xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当9xyyx时，等号成立则xy的最小值是16。变式1：若230,0,=1xyxyxy，求的最小值答案：526变式2：求函数2214y=(0)sincos2xxx的最小值答案：9类型三：求分式的最值问题3.已知0x，求21xxx的最小值解析：∵0x∴21111213,xxyxxxxx当1x时取得等号∴最大值为3。变式1：求函数231()12xyxx的值域答案：2,变式2：求函数2254xyx的最小值答案;52类型四：求负数范围的最值问题4.10,xxx求的最大值解析:∵0,x∴0x∴12xx（当且仅当1x时取等号）故12,xx最大值为2。变式1：求4()(0)fxxxx的值域答案:,44,2212()xxfxx变式：求的值域答案：,40,变式3：已知51,y=42445xxx求函数的最大值答案：1类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5.若正数a,b满足3,abab则（1）ab的取值范围是（2）a+b的取值范围是解析：（1）∵正数,ab满足3abab，∴323ababab，即2230abab解得：3ab，即9ab，当且仅当3ab时取等号，9,ab（3）∵正数,ab满足3abab，∴232ababab，即24120abab，解得6ab，当且仅当3ab时取等号，∴6,+ab变式1：若x，y0满足2x+y+6,xyxy则的最小值是答案：18变式2：已知x，y0满足x+2y+2xy8,x+2y则的最小值是答案：4补充：正数,ab满足1abab，则32ab的最小值是______解析：由1abab得11bab，再由,ab为正数得1b所以31633632222152125435111bbabbbbbbb当且仅当6211bb即13b时等号成立，所以最小值是435。类型六：求参数范围运用基本不等式求参数取值范围的方法(1)若已知等式，则要用基本不等式进行放缩，得出不等式，解该不等式．(2)若已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数的最值(恒成立问题)，若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min；若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max.而求函数的最值时可能用到基本不等式．例1：已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．解：对任意x∈N*，f(x)≥3，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即a≥－x＋8x＋3.设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则x＋8x≥42，当且仅当x＝22时取等号．又g(2)＝6，g(3)＝173.g(2)g(3)，所以g(x)min＝173.所以－x＋8x＋3≤－83，所以a≥－83，故a的取值范围是－83，＋∞.2.已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解：f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a(x0，a0)，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时等号成立，此时f(x)取得最小值4a.又由已知x＝3时，f(x)min＝4a，所以a2＝3，即a＝36.答案：363．设a0，b0，且等式1a＋1b－ka＋b＝0恒成立，求实数k的最小值．解：由于1a＋1b－ka＋b＝0，且a0，b0.所以k＝1a＋1b(a＋b)＝ba＋ab＋2.因为a0，b0，所以ba＋ab＋2≥2ba·ab＋2＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b时，等号成立．因为等式1a＋1b－ka＋b＝0恒成立，所以k≥4.因此实数k的最小值为4.4.若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，求a的取值范围．答案：15a作业1、设x,y为正数,则14()()xyxy的最小值为(B)A.6B.9C.12D.152、若ba,为实数，且2ba，则ba33的最小值是（B）（A）18（B）6（C）32（D）4323.设正数x、y满足220xy，则lglgxy的最大值是（C）()A50()B20()C1lg5()D14.已知a,b为正实数，且baba11,12则的最小值为（D）A．24B．6C．3－22D．3+225.设,abR、且,2,abab则必有(B)(A)2baab122(B)2212abab(C)2212abab(D)2212abab6．下列结论正确的是(B)A.当0x且1x时，1lglgxx2B.0x当时，12xxC．当2x时，1xx的最小值为2D.02x时，1xx无最大值7.若1ab，lglgPab，1(lglg)2Qab，lg2abR，则下列不等式成立的是（B）()ARPQ()BPQR()CQPR()DPRQ8.函数11yxx(1)x的最小值是1．9.已知两个正实数xy、满足关系式440xy,则lglgxy的最大值是______2_______.10.已知102x，则(12)xx的最大值是1811.已知,xyR，且41xy，则xy的最大值___116_____12.若正数,ab满足4,abab，则ab的取值范围是62513.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：)0(160039202y。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？答案：（1）40；11.1（2）2564