高中数学必修一函数的概念知识点总结

第1页共12页必修一第一章集合与函数概念二、函数知识点8：函数的概念以及区间1》函数概念设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=()fx注意：①xA．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域②与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫值域.2》区间和无穷大①设a、b是两个实数，且ab，则：{x|a≤x≤b}＝[a,b]叫闭区间；②{x|axb}＝(a,b)叫开区间；③{x|a≤xb}＝[,)ab，{x|ax≤b}＝(,]ab，都叫半开半闭区间.④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.则{|}(,)xxaa，{|}[,)xxaa，{|}(,)xxbb，{|}(,]xxbb，(,)R.3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.典例分析题型1：函数定义的考察例1：集合A=40xx，B=20yy，下列不表示从A到B的函数是（）A、xyxf21)(B、xyxf31)(C、xyxf32)(D、xyxf)(例2：下列对应关系是否是从A到B的函数：①;:,0,xxfxxBRA②,:,,BAfNBZA求平方；③BAfZBZA:,,，求算术平方根；④BAfZBNA:,,，求平方；⑤A=[-2,2],B=[-3,3],BAf:,求立方。是函数的是_________________。题型2：区间的表示例1：用区间表示下列集合（1）1xx=_____________。（2）42xx=____________。（3）2,1xxx且=_____________。（4）3xx=______________。题型3：求函数的定义域和值域例1：求函数的定义域（1）32xy（2）121yx(3)21xy(4)3312xyx(5)0)1(314xxxy第2页共12页例2：求下列函数的定义域与值域：类型1：初级函数（1）)11(23xxy；（2）1)1(2xy(3)22yxx.类型2：分离常数法(4)145xxy（5）3254xyx类型3：换元法（6）32xxy（7）1xxy（8）xxy422（9）262xxy题型4：求抽象函数的定义域和值域（定义域一定是x的取值范围，f加工范围不变）例1：如果函数)(xf的定义域是[0,1],则函数)21(xf的定义域为_________________。例2：若函数)12(xf的定义域为[-1,1]，则函数)(xf的定义域为_________________。例3：若函数)3(xf的定义域为[-4,5]，则函数)32(xf的定义域为______________。例4：若函数)12(xf的定义域为(-1,5]，则函数)52(xf的定义域为______________。例5：设函数)(xf的定义域为[0,1],求（1）函数)(2xf的定义域（2）函数)2(xf的定义域题型5：判断是否为相同的函数例1：下列各组函数是同一函数的是______________。①xxxgxxf2)(2)(3与②2)()(xxgxxf与③001)()(xxgxxf与④12)(12)(22ttxgxxxf与第3页共12页知识点9：函数的表示法1》函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图像法2》求函数解析式的方法：①待定系数法②换元法③代入法④配凑法⑤方程组法典例分析题型1：待定系数法求函数解析式例1：已知二次函数)(xg满足5)1(,1)1(gg，图像过原点，求函数)(xg的解析式例2：已知二次函数)(xg，其图像的顶点是（-1,2），且经过原点，求函数)(xg的解析式例3：已知二次函数)(xh与x轴的两个交点为（-2,0），（3,0），且3)0(h，求)(xh的解析式例4：)(xf是一次函数，且满足172)1(3xxf，求)(xf的表达式例5：已知)(xf为一次函数，如果14)]([xxff，求)(xf的解析式题型2：代入法求解析式例1：已知34)(2xxxf，求)1(xf第4页共12页题型3：换元法和配凑法求解析式例1：已知1)1(2xxf，求)(xf的解析式例2：若221)1(xxxxf，求)(xf的表达式例3：若xxxf2)1(，求)(xf的表达式例4：已知函数1()1xfxx.求：（1）()fx的表达式；（2）(2)f的值例5：已知函数23)12(xxf，且4)(af，则a_________。题型4：方程组法求函数解析式例1：已知函数)(xf满足条件xxfxf)1(2)(，则)(xf=_________________。例2：已知12)()(2xxfxf，求)(xf的表达式例3：已知函数)(xf满足条件xxfxf3)1()(2，求)(xf的表达式例4：若xxfxf2)1(2)1(3，求)(xf的表达式第5页共12页知识点10：分段函数1》分段函数定义：在函数的定义域内，对于自变量x在不停的取值范围内，函数有不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数。2》分段函数的三要素：①分段函数的对应关系：在定义域的不同部分上，有不同的解析式②分段函数的定义域：分段函数的定义域是各段定义域的并集③分段函数的值域：值域是各段值域的并集典例分析：题型1：求函数值例1：已知函数)(xf=1,111,212xxxx，则)]21([ff的值为______。例2：已知函数)(xf=1,1,232xaxxxx，若aff4)]0([，则实数a的值为________。例3：已知函数)(xf=2,1221,31,12xxxxx，则))5)23(((fff=______________。题型2：画分段函数的图像例1：画出函数①xy②1xy③1xy④1xy⑤1xy的图像yyx321-4-3-2-10123-1-2-3321-3-2-10123-1-2-3x第6页共12页例2：已知函数)(xfy的图像如下图所示，则这一函数的解析式为___________________________。例3：请画出函数xxxy2的图像y321-4-3-2-10123-1-2-3321-4-3-2-10123-1-2-3xx第7页共12页知识点11：映射1》映射的概念：一般的，设A,B都是非空集合，如果按某一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。2》映射的分类（了解）：①单射②满射③双射（一一映射）3》判断映射个数若集合A,B的元素分别为m,n,那么，从集合A到集合B的映射的个数为mn。典例分析题型1：映射定义的考察例1：若A=R，B=R，ByAx,，下列从A到B的对应法则中，是从A到B的映射的是（）A、xyxf:B、2:xyxfC、xyxf:D、xyxf1:例2：下列对应不是A到B的映射的是（）A、A={0xx}，B={0yy}，2:xyxfB、A={00xxx或}，B={1}，0:xyxfC、A={2,3}，B={4,9}，)(:的整数倍是xyyxfD、A=R，B=R，)yA(2:Bxyxfx，以上例3：下列对应是从集合A到集合B的映射的是（）A、A={0,xQxx}，B={Qyy}，对应法则是：求绝对值为x的有理数yB、A=R，B=R，对应法则是：求倒数C、A={三角形}，B=R，对应法则是：求三角形的面积D、A={圆}，B={三角形}，对应法则是：求圆的内接三角形例4：设集合A={cba,,}，B={0,1}，试问：从A到B的映射共有__________个。例5：已知集合A={1,2,3,4}，集合B＝{3,4}，若令BAM，BCNA，那么从M到N的映射有____________个。第8页共12页知识点12：函数的单调性1》增函数与减函数的定义①增函数：一般地，设函数)(xf的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是增函数②减函数：一般地，设函数)(xf的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是减函数2》单调性与单调区间①如果函数)(xfy在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数)(xfy在这个区间具有单调性②函数的单调区间的书写方式一个函数有两个或两个以上的单调区间时，用“和”或者“，”连接。单调区间两端的开闭没有严格规定典例分析题型1：判断函数的增减性例1：设区间axxxf1)(2，证明：当1a时，函数)(xf在区间,0上是减函数。例2：已知函数)(xf对任意Ryx,，总有)()()(yxfyfxf，且当0x时，32)1(,0)(fxf（1）求证：)(xf在R上是减函数（2）求)(xf在[-3,3]上的最大值与最小值第9页共12页题型2：确定单调区间例1：求函数①1)(xxxf②112)(xxxf③12)(xxxf的单调区间。例2：作出函数)1(2xxy的图像，并根据函数的图像找出函数的单调区间。例3：写出下列函数的单调区间（1）xxf3)(（2）32)(2xxxf例4：判断函数①223xxy②21xy的单调性题型3：根据增减性求参数的取值范围例1：若函数bxky)12(在实数集R上是增函数，则k的取值范围为_______________。例2：若函数)(xf在区间[-2,3]上是增函数，则)5(xfy的递增区间是______________。例3：定义在（-1,1）上的函数)(xf是减函数，且满足)()1(afaf，则实数a的取值范围___________。题型4：函数的最值问题例1：已知函数axxxf4)(2，1,0x，若)(xf有最小值-2，则)(xf的最大值为______。例2:已知函数)6,2(12)(xxxf，求函数的最小值和最大值第10页共12页例3：求函数)(xf1,510,30,32xxxxxx，的最大值例4：已知函数)(xf对任意Ryx,，总有)()()(yxfyfxf，且当32)1(,0)(0fxfx时，（1）求证：)(xf在R上是减函数（2）求)(xf在[-3,3]上的最大值与最小值知识补充：复合函数的增减性1》复合函数定义：如果函数)(ufy的定义域为A，函数)(xgu的定义域为D，值域为C，且AC时，称函数))((xgfy为gf与在D上的复合函数，其中u叫中间变量，)(xgu叫做内函数，)(ufy叫做外函数2》复合函数单调性的判断可以根据下表：典例分析题型1：确定复合函数的单调区间例1：已知228)(xxxf，)2()(2xfxg，求函数)(xg的单调区间例2：设函数)(xf的单调递增区间是（2,6），求函数)2(xf的单调区间。)(xgt)(tfy))((xgfy增增增增减减减增减减减减第11页共12页函数的奇偶性知识点14：函数的奇偶性1》偶函数定义：一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x的值，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数***偶函数的图像特征：函数图像关于y轴对称，定义域