高中数学复合函数常考题型2018高三专题复习-函数

乐博士高中数学复合函数常考题型2018高三专题复习-函数（2）复合函数常考的题型有：（1）求解定义域问题（已知fx()的定义域，求fgx()的定义域；已知fgx()的定义域，求fx()的定义域；已知fgx()的定义域，求fhx()的定义域）遵循等位等效性原则。（2）判定函数单调性问题：已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.遵循同增异减原则。一、复合函数定义域问题：(1)、已知fx()的定义域，求fgx()的定义域例1.设函数fu()的定义域为（0，1），则函数fx(ln)的定义域为_____________。解析：函数fu()的定义域为（0，1）即u()01，，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以01lnx解得xe()1，，故函数fx(ln)的定义域为（1，e）例2.若函数fxx()11，则函数ffx()的定义域为______________。答案：xRxx|12且（2）、已知fgx()的定义域，求fx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xEE，为fx()的定义域。乐博士例3.已知fx()32的定义域为x12，，则函数fx()的定义域为_________。解析：fx()32的定义域为12，，即x12，，由此得3215x，所以f的作用范围为15，，又f对x作用，作用范围不变，所以x15，即函数fx()的定义域为15，例4.已知fxxx()lg22248，则函数fx()的定义域为______________。答案：()4，（3）、已知fgx()的定义域，求fhx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，f的作用范围为E，又f对hx()作用，作用范围不变，所以hxE()，解得xF，F为fhx()的定义域。例5.若函数fx()2的定义域为11，，则fx(log)2的定义域为____________。解析：fx()2的定义域为11，，即x11，，由此得2122x，f的作用范围为122，又f对log2x作用，所以log2122x，，解得x24，即fx(log)2的定义域为24，。二、复合函数单调性问题已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.例、证明：在区间ba,(）内任取两个数21,xx，使bxxa21乐博士因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(21xgxg,记)(11xgu,)(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因为函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21ufuf,即))(())((21xgfxgf，故函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.复合函数的单调性是由两个函数共同决定“同向得增，异向得减”或“同增异减”.复合函数))((xgfy的单调性判断例1、求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆解：定义域130322xxxx或单调减区间是),3(设2121),3(,xxxx且则)32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx)32(222xx=)2)((1212xxxx∵312xx∴012xx0212xx∴)32(121xx)32(222xx又底数1210∴012yy即12yy∴y在),3(上是减函数奎屯王新敞新疆同理可证：y在)1,(上是增函数奎屯王新敞新疆例2、讨论函数)123(log)(2xxxfa的单调性.［解］由01232xx得函数的定义域为}.31,1|{xxx或则当1a时，若1x，∵1232xxu为增函数，∴)123(log)(2xxxfa为增函数.若31x，∵1232xxu为减函数.∴)123(log)(2xxxfa为减函数。当10a时，若1x，则)123(log)(2xxxfa为减函数，乐博士若31x，则)123(log)(2xxxfa为增函数.例3、.已知y=alog(2-xa)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.答案：0a1或1＜a＜2奎屯王新敞新疆例4、已知函数2)3()2(2axaaxxf（a为负整数）的图象经过点Rmm),0,2(，设)()()()],([)(xfxpgxFxffxg.问是否存在实数)0(pp使得)(xF在区间)]2(,(f上是减函数，且在区间)0),2((f上是减函数？并证明你的结论。［解析］由已知0)2(mf，得02)3(2amaam，其中.0,aRm∴0即09232aa，解得.37213721a∵a为负整数，∴.1a∴1)2(34)2(2xxxxf，即.1)(2xxf242221)1()]([)(xxxxffxg，∴.1)12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数)0(pp，使得)(xF满足条件，设21xx，∴].12)()[()()(2221222121pxxpxxxFxF∵3)2(f，当)3,(,21xx时，)(xF为减函数，∴0)()(21xFxF，∴.012)(,022212221pxxpxx∵3,321xx,∴182221xx,∴11612)(2221ppxxp,∴.0116p①当)0,3(,21xx时,)(xF增函数,∴.0)()(21xFxF∵02221xx,∴11612)(2221ppxxp,∴0116p.②由①、②可知161p，故存在.161p乐博士针对性课堂训练一、复合函数定义域问题部分1、已知函数)x(f的定义域为]1,0[，求函数)x(f2的定义域。答案：]1,1[2、已知函数)x23(f的定义域为]3,3[，求)x(f的定义域。答案：]9,3[3、已知函数)2x(fy的定义域为)0,1(，求|)1x2(|f的定义域。答案：)23,1()0,21(二、复合函数单调性问题：1、函数y＝21log（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）答案（2，＋∞）2、找单调区间.（1）)1(232aayxx；（2）.2322xxy答案：(1)在]23,(上是增函数，在),23[上是减函数。（2）单调增区间是]1,1[，减区间是]3,1[。3、讨论)0,0(),1(logaaayxa且的单调性。答案：,1a时),0(为增函数，01a时，)0,(为增函数。