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笔记前言：本笔记的内容是去掉步骤的概述后，视频的所有内容。本猴觉得，自己的步骤概述写的太啰嗦，大家自己做笔记时，应该每个人都有自己的最舒服最简练的写法，所以没给大家写。再是本猴觉得，不给大家写这个概述的话，大家会记忆的更深，掌握的更好！所以老铁！一定要过呀！不要辜负本猴的心意！~~~【祝逢考必过，心想事成~~~~】【一定能过！！！！！】1EEEErEEE大物—电磁学第一课一、利用表格求场强表格：场源距场源或场源几何中心r处的场强大小方向(正)带电量为q的点电荷E=q4πε0r2半径为R、带电量为q的均匀带电球壳E={0，球内q4πε0r2，球外半径为R、带电量为q的均匀带电球体E={q4πε0R3r，球内q4πε0r2，球外线电荷密度为λ的无限长均匀带电直线E=λ2πε0r面电荷密度为σ的无限大均匀带电平面E=σ2ε0电荷量q的单位：C电场强度E的单位：N/C真空介电常数ε0的单位：C2/N·m2ε0=8.85×10−12C2/N·m22−q−𝑙+q+𝑙Px0例1：在空间中，有一个电荷量为+𝐪𝟏的点电荷，试求与点电荷距离为a的地方的场强大小。解：E=q4πε0r2=q14πε0a2二、利用叠加求场强例1：如图所示𝐎x轴，在坐标−𝒍处有一个点电荷−q，在坐标+𝒍处有另一个点电荷+q，在坐标x≫𝒍处，取P点，求P点场强E。−q在P点产生水平向左的场强，大小记作E−=q4πε0(x+𝑙)2+q在P点产生水平向右的场强，大小记作E+=q4πε0(x−𝑙)2E=E+−E−=q4πε0(x−𝑙)2−q4πε0(x+𝑙)2=q[(x+𝑙)2−(x−𝑙)2]4πε0(x−𝑙)2(x+𝑙)2=q·4x𝑙4πε0(x−𝑙)2(x+𝑙)2≈q·4x𝑙4πε0·x4=q𝑙πε0x3方向水平向右3例2：如图，两块平行的无限大均匀带电平面铅直放置，其面电荷密度分别为𝛔𝟏=+σ和𝛔𝟐=−σ，求Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的场强的大小、方向。σ1面产生的场强大小为E1=σ2ε0方向如图所示σ2面产生的场强大小为E2=σ2ε0方向如图所示在Ⅰ区：EⅠ=E1−E2=0在Ⅱ区：EⅡ=E1+E2=σε0，方向水平向右在Ⅲ区：EⅢ=E1−E2=0例3：有一半径为r的细圆环，环上均匀带正电，圆心O点处的场强的大小E=0。有一半径为r的球壳，壳上均匀带正电，球心O点处的场强的大小E=0。有一边长为𝒍的正方形线框，线框上均匀带正电，正方形中心O点处的场强的大小E=0。σ1σ2E1E2E1E2E2E14例4：如图，半径为R的细圆环有一微小缺口，缺口宽度为d≪R。环上均匀带正电，总电量为q。求圆心O处的场强大小和方向。圆环+缺口：EO=0缺口部分：大小为E1=q2πR−d·d4πε0R2≈qd2πR4πε0R2=qd8π2ε0R3方向为从缺口指向圆心圆环部分：大小为E2=qd8π2ε0R3方向为从圆心指向缺口例5：真空中有一均匀带电球壳，半径为R，带电量Q0。现从球壳上挖去一很小的面积ds(连同其上的电荷一同挖去)，其余部分电荷仍均匀分布，求挖完后球心处场强的大小和方向。解：ds部分：大小为E1=Q4πR2·ds4πε0R2=Qds16π2ε0R4方向为从缺口指向球心其余部分：大小为E2=Qds16π2ε0R4方向为从球心指向缺口ORdoRd1大物—电磁学第二课一、利用积分求场强例1：如图，长为L的带电细棒沿x轴放置，线电荷密度λ=Ax(A＞0)。求：在其右端延长线上与右端距离为a的P点处的场强大小。∵对于点电荷，E=q4πε0r2并且，对于dx长小段，q=λdx=Axdx该点到P点距离为L+a−x，即r=L+a−x∴dE=Axdx4πε0(L+a−x)2dEx=Axdx4πε0(L+a−x)2dEy=0∴Ex=∫Axdx4πε0(L+a−x)2L0=A4πε0∫x(L+a−x)2L0dx=A4πε0(lnaL+a+La)∴Ey=∫0dxL0=0∴E=A4π𝜀0(lnaL+a+La)积分过程：∵x(L+a−x)2=x−(L+a)+(L+a)(L+a−x)2=x−(L+a)(L+a−x)2+L+a(L+a−x)2=1x−(L+a)+L+a(L+a−x)2并且，[ln|x−(L+a)|]′=1x−(L+a)(L+aL+a−x)′=L+a(L+a−x)2∴∫x(L+a−x)2L0dx=∫[1x−(L+a)+L+a(L+a−x)2]L0dx=[ln|x−(L+a)|+L+aL+a−x]|0L=(lna+L+aa)−[ln(L+a)+1]=lnaL+a+LaoLapxYoLapdxx2例2：无限长圆柱面的面电荷密度为σ=𝛔𝟎cosΦ(𝛔𝟎＞0)，式中Φ为半径R与x轴的夹角，求圆柱轴线上一点的场强。∵俯视图中的点，在实际中，是一条线并且，对于无限长直线，E=λ2πε0r其中，λ=σ·底=σ·RdΦ=σ0cosΦ·RdΦr=R∴dE=λ2πε0R=σ02πε0cosΦdΦdEx=−dEcosΦ=−σ02πε0cos2ΦdΦdEy=−dEsinΦ=−σ02πε0sinΦcosΦdΦ∴Ex=∫(−σ02πε0cos2Φ)2π0dΦ=−σ02πε0∫cos2Φ2π0dΦ=−σ02πε0·[∫122π0dΦ+∫cos2Φ22π0dΦ]=−σ02πε0·[Φ2|02π+sin2Φ4|02π]=−σ02πε0·π=−σ02ε0Ey=∫(−σ02πε0sinΦcosΦ)2π0dΦ=−σ02πε0∫sinΦcosΦ2π0dΦ=−σ02πε0∫sin2Φ22π0dΦ=−σ02πε0·[(−cos2Φ4)|02π]xydΦΦdEdEydExOR俯视图zyxORΦ3=0∴E大小为σ02ε0，方向为x轴负方向积分步骤：∵cos2Φ=cos2Φ−sin2Φ=cos2Φ−(1−cos2Φ)=2cos2Φ−1∴cos2Φ=1+cos2Φ2∫cos2Φ=∫1+cos2Φ2=∫12+∫cos2Φ2二、电场力/库仑力例1：如图，点电荷带电为+2q，现将另一个带电为+3q的点电荷放在与其距离为𝒍的地方，试求出+2q点电荷给+3q点电荷的电场力？F=EqE+2q=2q4πε0𝑙2∴F=2q4πε0𝑙2·3q=3𝑞²2πε0𝑙2方向水平向右4例2：如图，一半径为R的均匀带电球壳带有电荷+q。一长为𝒍的均匀带电细线电荷线密度为λ(λ＞0)，沿球壳半径方向放置，左端离球心距离为𝐫𝟎R。设球和线上的电荷分布不相互影响，求细线所受球壳电荷的电场力。dq=λdx∵球壳场强E={0，球内q4πε0r2，球外并且，r0R∴E=q4πε0x2F=∫Er0+𝑙r0dq=∫q4πε0x2r0+𝑙r0·λdx=qλ4πε0∫1x2r0+𝑙r0dx=qλ4πε0·(−1x)|r0r0+𝑙=qλ4πε0·(1r0−1r0+𝑙)=qλ𝑙4πε0r0(r0+𝑙)方向为水平向右三、场强的注意点例1：1、描述静电场性质的两个基本物理量是电场强度与电势，它们的定义式是（E⃑⃑=F⃑⃑q0）和（UA点=∫E⃑⃑（电势零点）（A点）dl）。2、场强是矢量，既有大小又有方向3、试验电荷是正电荷时，其所受电场力方向与场强方向相同ORqλ𝑙r0xxdx5试验电荷是负电荷时，其所受电场力方向与场强方向相反4、以下说法正确的是B。(A)电场中某点电场强度的方向，就是试验电荷在该点所受的电场力方向(B)电场中某点电场强度的方向可由E⃑⃑=F⃑⃑q0确定，其中F⃑为试验电荷所受的电场力q0为试验电荷的电荷量，q0可正可负(C)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同(D)以上说法都不正确1大物—电磁学第三课一、求通过某个面的电通量E的情况电通量ΦeΦe=E·S⊥若求封闭面的Φe，则E穿出为正，反之为负Φe=±E·S球（E穿出为正，反之为负）Φe=±E·S圆柱面（E穿出为正，反之为负）当面与E平行时，Φe=0当有多个面时，求各个面的电通量，再将结果相加例1：如图，在匀强电场E中，有一半径为R的半球面，场强E的方向与半球面的对称轴平行，求通过该半球面的电通量ΦeS⊥=πR2Φe=E·S⊥=πR2EEEEEErEEEr2例2：如图，在无限大的均匀带电平面外，有一边长为2r的正方体，正方体关于平面对称，若正方体左右表面处场强大小为E，试求通过该正方体表面的电通量ΦeS左表面=S右表面=(2r)2=4r2Φe左表面=E·S⊥=E·S左表面=4r2EΦe右表面=E·S⊥=E·S右表面=4r2EΦe其他表面=0Φe=Φe左表面+Φe右表面+Φe其他表面=8r2E例3：如图，一正点电荷q位于某球面中心，球面半径为R，若球面各处场强大小为E，试求通过球面的电通量ΦeS球=4πR2Φe=E·S球=4πR2·EEEEEEEEEEEEEEEER+q3例4：有一带正电的无限长均匀带电直线，直线外，有一个中轴线与直线重合的圆柱面，圆柱面半径为R，高为h，若在圆柱面各处，场强大小均为E，求通过该圆柱体表面的电通量ΦeS圆柱面=2πRhΦe=E·S圆柱面=2πRh·E例5：有一带正电的无限长均匀带电直线，直线外，有一个中轴线与直线重合的圆柱体，圆柱体半径为R，高为h，若在圆柱面各处，场强大小均为E，求通过该圆柱体表面的电通量ΦeS圆柱面=2πRhΦe圆柱面=E·S圆柱面=2πRh·EΦe上表面=Φe下表面=0Φe=Φe圆柱面+Φe上表面+Φe下表面EEEEEEEEEREEEEEEEEER4=2πRh·E例6：有一带正电的无限长均匀带电直线，直线外，有一个高为h的长方体。直线穿过了长方体上下表面对角线的交点，并且，交点到顶点距离为R，若在顶点处，场强大小为E，求通过该长方体表面的电通量Φe解：S圆柱面=2πRhΦe圆柱面=E·S圆柱面=2πRh·EΦe上表面=Φe下表面=0Φe=Φe圆柱面+Φe上表面+Φe下表面=2πRh·E例7：如图，一正点电荷q位于某正方体中心，中心到顶点距离为R，试求通过正方体表面的电通量Φe解：S球=4πR2Φe=E·S球=4πR2·EEEEEEEEEERR+q5二、用高斯定理Φe=𝟏𝛆𝟎∑𝐪内求场强例1：已知无限长均匀带电直线的线电荷密度为λ，竖直放置，求该带电直线的电场分布。解：Φe=2πRh·E∑q内=λhΦe=1ε0∑q内2πRh·E=1ε0·λhE=λ2πε0RREEEEEEEEEh6例2：已知无限长均匀带电圆筒的面电荷密度为σ，半径为r，竖直放置，求各点的场强E与距轴线的距离R的关系。解：筒外：Φe=2πRh·E∑q内=σ·2πrhΦe=1ε0∑q内2πRh·E=1ε0·σ·2πrhE=σrε0R筒内：Φe=0∑q内=0Φe=1ε0∑q内E·S=0E=0E={σrε0R，筒外0，筒内rREEEEEEEEEhr7例3：如图有一正点电荷q，求q的电场分布Φe=4πR2·E∑q内=qΦe=1ε0∑q内4πR2·E=1ε0·qE=q4πε0R2例4：有一半径为r、带电量为q的均匀带电球壳，求各点的场强E与距球壳中心的距离R的关系球壳外：Φe=4πR2·E∑q内=qΦe=1ε0∑q内4πR2·E=1ε0·qE=q4πε0R2球壳内：Φe=0∑q内=0Φe=1ε0∑q内E·S=0E=0+qEEEEEREEEEERrrR8E={q4πε0R2，球壳外0，球壳内例5：有一半径为r、带电量为q的均匀带电球体，求各点的场强E与距球体中心的距离R的关系球体外：Φe=4πR2·E球体内：Φe=4πR2·E∑q内=q∑q内=43πR343πr3·q=R3r3·qΦe=1ε0∑q内Φe=1ε0∑q内4πR2·E=1ε0·q4πR2·E=1ε0·R3r3·qE=q4πε0R2E=q4πε0r3·RE={q4πε0R2，球体外q4πε0r3R，球体内rEEEEEREEEEERr9例6：已知无限大均匀带电平面的面电荷密度为σ，竖直放置，求该带电平面的电场分布。Φe=8r2E∑q内=σ·(2r)2=4r2·σΦe=1ε0∑q内8r2E=1ε0·4r2·σE=σ2ε0EEEEEEEEE