直线与方程知识点及典型例题

第三章直线与方程知识点及典型例题1.直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°2.直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。例.如右图，直线l1的倾斜角=30°，直线l1⊥l2，求直线l1和l2的斜率.解：k1=tan30°=33∵l1⊥l2∴k1·k2=—1∴k2=—3例：直线053yx的倾斜角是()A.120°B.150°C.60°D.30°②过两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，当(1)l1//l2(2)l1⊥l1时分别求出m的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。3.直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为bxyo12l1l2③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),即l与x轴、y轴的截距分别为a、b。注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况①两个截距都不为0②或都为0；但不可能一个为0，另一个不为0.其方程可设为：1xyab或y=kx.⑤一般式：Ax+By+C=0（A，B不全为0）注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。各式的适用范围(3)特殊式的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是12，经过点A(8，—2)；.(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；.(3)在x轴和y轴上的截距分别是3,32；.(4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)；.例1：直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（）A．C=0，B0B．C=0，B0，A0C．C=0，AB0D．C=0，AB04.两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5.已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组0CBA0CBA222111yxyx的一组解。若方程组无解21//ll；若方程组有无数解1l与2l重合6.点的坐标与直线方程的关系几何元素代数表示点P坐标P(xo，yo)直线l方程Ax+By+C=0点P(xo，yo)在直线l上坐标),(00yx满足方程：Ax+By+C=0点P(xo，yo)是l1、l2的交点坐标(xo，yo)满足方程组0CBA0CBA222111yxyx7.两条直线的位置关系的判定公式A1B2—A2B1≠0方程组有唯一解两直线相交,0CBCB0BABA12211221或A1C2—A2C1≠0无解两直线平行0CBCB0BABA12211221或A1C2—A2C1=0有无数个解两直线重合两条直线垂直的判定条件：当A1、B1、A2、B2满足时l1⊥l2。答：A1A2+B1B2=0经典例题；例1.已知两直线l1：x+(1+m)y=2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行解：例2.已知两直线l1：(3a+2)x+(1—4a)y+8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值解：例3.求两条垂直直线l1：2x+y+2=0和l2：mx+4y—2=0的交点坐标解：例4.已知直线l的方程为121xy，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。8.两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=212212)()(yyxx9.点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离22ooBACBAd|yx|10.两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2的距离为2221BACCd例1：求平行线l1：3x+4y—12=0与l2：ax+8y+11=0之间的距离。例2：已知平行线l1：3x+2y—6=0与l2：6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。12.中点坐标公式：已知两点P1(x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(221xx，221yy)例.已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。13.对称点与对称直线的求法例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).(1)分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标(2)分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3)求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。(4)求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。例2：点P(—1，—2)关于直线l：x+y—2=0的对称点的坐标为。例3：已知圆C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线x—y—1=0对称，则圆C2的方程为：。A.(x+2)2+(y—2)2=1B.(x—2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x—2)2+(y—2)2=1