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乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天1课题1函数及其表示一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：．(3)函数的表示法：．(4)两个函数只有当都分别相同时，这两个函数才相同．2．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．三、经典例题题型一函数与映射的概念【例1】下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？①A＝N，B＝Q，f：a→b＝1a＋1；②A＝{x|x＝n，n∈N*}，B＝{y|y＝1n，n∈N*}，f：x→y＝1a；③A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝R，f：x→y，y2＝x；④A＝{平面M内的矩形}，B＝{平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．【探究1】(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天2素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A、B为非空数集时，即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时【变式1】(1)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是()A．f：x→y＝12xB．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23xD．f：x→y＝x(2)设a在映射f下的象为2a＋a，则20在映射f下的原象为________【例2】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y＝xx；f2：y＝1.(2)f1：y＝|x|；f2：y＝x，－x，x0，x0.(3)f1：y＝1，x≤1，2，1x2，3，x≥2.f2：xx≤11x2x≥2y123(4)f1：y＝2x；f2：如图所示．【探究2】(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数．【变式2】下列各对函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．y＝f(x)与y＝f(x＋1)乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天3C．f(u)＝1＋u1－u，g(v)＝1＋v1－vD．f(x)＝x，g(x)＝x2题型二函数的解析式【例3】求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；(2)已知f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求f(x)；(3)已知f(x＋1x)＝x2＋1x2－3，求f(x)；(4)已知f(x)－2f(1x)＝3x＋2，求f(x)．【探究3】函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f(x)与f(1x)或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．【变式3】(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天4(2)已知f(x－2)＝2x2－9x＋13，求f(x)的解析式．(3)若函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x，则f(x)的解析式为____．题型三分段函数与复合函数【例4】已知函数f(x)＝1x，x0x2，x∈[0.g(x)＝x＋1，求：(1)g[f(x)]；(2)f[g(x)]．探究4分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．【变式4】(1)(2013·北京)函数f(x)＝log12x，x≥1，2x，x1的值域为________．乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天5(2)设函数f(x)＝2x－4x≤4－log2x＋1x4若f(a)＝18，则f[f(a＋6)]＝________.题型四抽象函数【例5】已知偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈R恒有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2x1x2＋1，则函数f(x)的解析式为________．【探究5】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题．(2)利用特殊值代入寻求规律和解法．【变式5】设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，对任意x，y∈R恒有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．四、本课总结1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！2．函数问题定义域优先！3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．五、课堂作业1．已知f(lgx)＝1x，则f(1)＝________.2．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3min收费0.2元；超过3min以后，每增加1min收费0.1元，不足1min按1min计费，则通话收费s(元)与通话时间t(min)的函数图像可表示为图中()乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天63．已知函数f(x)＝3x，x≤1，－x，x1，若f(x)＝2，则x等于()A．log32B．－2C．log32或－2D．24．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝2x，④y＝log2|x|，其中能构成从M到N的函数的是________．5．已知f(x－1x)＝x2＋1x2，则f(3)＝______.6．如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________.课题2函数的定义域与值域一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数的定义域乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天7(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)(2)基本初等函数的定义域：①整式函数的定义域为.②分式函数中分母.③偶次根式函数被开方式.④一次函数、二次函数的定义域均为.⑤函数f(x)＝x0的定义域为．⑥指数函数的定义域为.对数函数的定义域为．2．函数的值域基本初等函数的值域：(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为．(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a0且a≠1)的值域是．(5)y＝xloga(a0且a≠1)的值域是.三、经典例题题型一函数的定义域【例1】(1)函数y＝1log0.5x－1的定义域为________．(2)函数y＝1logax－1(a0且a≠1)的定义域为________．(3)函数f(x)＝x＋2x2lg|x|－x的定义域为________．乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天8【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．【变式1】求函数y＝25－x2＋lgcosx的定义域．【例2】(1)已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域．(2)已知y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域．【探究2】(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．(2)若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．【变式2】(1)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．(2)若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．题型二函数的值域乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天9【例3】求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝－2x2＋x＋3；(3)y＝x＋1x＋1；(4)y＝x－1－2x；(5)y＝x＋4－x2；(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.【探究3】求函数值域的一般方法有：①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法．【变式3】(1)函数的值域为()A．(－∞，12]B．[12，1]C．[12，1)D．[12，＋∞)(2)函数y＝2－sinx2＋sinx的值域是________．(3)函数y＝x2＋x＋1x＋1的值域为________．题型三函数定义域与值域的应用【例4】已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天10【探究4】已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目．【变式4】已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0)可用换元法．2．形如y＝a1x2＋b1x＋c1a2x2＋b2x＋c2(其中a1，a2不全为0且a2x2＋b2x＋c2≠0)的函数可用判别式法．3．形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d为常数，ac≠0)的函数，可用换元法或配方法．4．形如y＝ax＋bcx＋d(c≠0)或y＝2x－12x＋1或y＝sinx－1sinx＋2的函数，可用反函数法或分离常数法．5．形如y＝x＋kx(k0，x0)的函数可用图像法或均值不等式法．6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y＝|x－1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．五、课堂作业乐教、诚毅、奉献、创新高仕教育伴你成长每一天111．函数的定义域是()A．(－3，＋∞)B．[－2，＋∞)C．(－3，－2)D．(－∞，－2]2．(2013·山东)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]3．对函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)作x＝h(t)的代换，则总不改变函数f(x)的值域的代换是()A．h(t)＝10tB．h(t)＝t2C．h(t)＝sintD．h(t)＝log2t4．函数y＝4x2－3x－43|x＋1|－2的定义域为________．5．函数y＝10x＋