自主招生数学试题及答案

第1页共6页2017年自主招生数学试题(分值:100分时间:90分钟)一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、若对于任意实数a，关于x的方程0222baaxx都有实数根，则实数b的取值范围是（）Ab≤0Bb≤21Cb≤81Db≤-12、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，已知S△BDE∶S△CDE=1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为（）A．1∶3B．1∶4C．1∶9D．1∶163、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为300，在C处测得电线杆顶端A得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m，则电线杆的高(AB)是（）A．)344(mB．)434(mC．)326(mD．12m4、如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=3．点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过（）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点。A．53B．12C．43D．23(第2题图)(第3题图)(第4题图)5、如图，在反比例函数xy2的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数xky的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为()A.2B.4C.6D.86、如图，O是等边三角形ABC内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB绕点B逆时针旋转600得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B可以由△COB绕点B逆时针旋转600得到；②∠AOB=1500；③633AOBO'S四边形；④9364AOBAOCSS△△。其中正确的是（）A.②③④B.①②④C.①④D.①②③第2页共6页O'OCBA(第5题图)(第6题图)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7、已知方程组24221xykxyk，且1xy，则k的取值范围是。8、一次函数bxy34与134xy的图象之间的距离等于3，则b的值是。9、如图，△ABC中，∠ACB=900，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发s时，△BCP为等腰三角形。10、已知关于x的方程322xmx的解为正数，则m的取值范围。11、如图，AC⊥BC于点C，BC=4，AB=5，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径等于。12、如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线xy33上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线xy33上，依次进行下去…，若点A的坐标是(0,1)，点B的坐标是(3,1)，则点A8的横坐标是。OBAC(第9题图)(第11题图)(第12题图)三、解答题（本大题共3小题，满分40分）13、(本题共12分)如图，在△ABC中，∠C=900，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F。(1)若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；第3页共6页(2)连接OE、ED、DF、EF，若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由。AECDFBO14、(本题共14分)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=600(如图①)，求证：EB=AD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若∠A=600”改为“若∠A=900”，其它条件不变，则ADEB的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)15、(本题共14分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+3(a≠0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由。第4页共6页2017年自主招生数学试题参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、C2、D3、A4、A5、D6、B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7、21＜k＜1；8、-4或6；9、2或2.5或1.4；10、m＞-6且m≠-4；11、2；12、636。三、解答题（本大题共3小题，满分40分）13、解：（1）连接OD，设⊙O的半径为r，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴，即，解得r=，∴⊙O的半径为；（2）四边形OFDE是菱形，∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B，∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB，∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°，∵DE∥AB，∴∠ODE=60°，∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形，∴OD=DE，∵OD=OF，∴DE=OF，∴四边形OFDE是平行四边形，∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形。14、(1)证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，∵△ABC是等腰三角形,∠A=600，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=600，∴∠DBE=1200,∠ADF=∠AFD=600=∠A，∴△ADF是等边三角形,∠DFC=1200，∴AD=DF，∵∠DEC=∠DCE，∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，在△DBE和△CFD中,由∠DEC=∠FDC，∠DBE=∠DFC=1200，ED=CD，∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB=DF，∴EB=AD；(2)EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：同(1)得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，又∵∠DBE=∠DFC=600，∴在△DBE和△CFD中,由∠DEC=∠FDC，∠DBE=∠DFC，ED=CD，∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF，∴EB=AD；第5页共6页(3)ADEB=2；理由如下：作DF∥BC交AC于F，如图3所示：同(1)得：△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB=DF，∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF=2AD，∴ADDF=2，∴ADEB=2.15、解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴，∴；（2）探究一：当时，W有最大值，∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∴，∴，当时，作轴于M，则，∵，∴，∵，∴∴当时，W有最大值，，探究二：存在，分三种情况：①当时，作轴于E，则，∴∴，∴∵轴，轴，∴，∴，∴∴，，此时，又因为，∴，∴，∴，第6页共6页∴当时，存在点P1，使，此时P1点的坐标为（0，2）；②当时，则，∴，∴，∵，∴，∴与不相似，此时点P2不存在；③当时，以AD为直径作，则的半径，圆心O1到y轴的距离，∵，∴与y轴相离，不存在点P3，使，∴综上所述，只存在一点使与相似。