求数列通项公式ppt

求数列的通项公式学习目标•在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法•理解求通项公式的原理•体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。1、11113,5,7,9,481632;12112nnna.,,,,35624515483322、1-111-2）（）（nnann已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。一、观察法1、写出下列数列的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意观察各项与它的序号的关系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)91这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系)(*Nn练习：11(1)(2)nnnsnassn主要是公式的运用注意：（1）这种做法适用于所有数列；（2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.的通项公式；）求数列（的图象上。）在函数（），点（的前几项和为、已知数列例}{123S}{22nn*nnaxx)x(fNnS,na.nan56二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）练习：1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an二、公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遗漏n=1的情形哦！当n=1时,a1=1不满足上式因此an=1(n=1)4n－2(n≥2,)*nNnnnnnnnaSaanSaa求且项的和，是数列的前中，已知数列,21,0,211112,0,0,11S11S1S,1)2(,S21,21:11221121212nnaaannnSSannSSannnaSSnSSaaaSaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnn的通项公式是数列也适合上式时，而时，）（，，首项为是等差数列，公差为数列由已知代入上式化简得又得由解3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+•••+nan=3n+1,求通项an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范围∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1时,a1=9（n≥2）两式相减得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）*nN例3.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通项an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2－a1=1a3－a2=2a4－a3=3•••an－an－1=n－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+•••+(a2－a1)+a1=(n－1)+(n－2)+•••+2+1+1212122­nnnn三、累加法(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)n个等式相加得a1=1an+1－an=n(n∈N*)（1）注意讨论首项;(2)适用于an+1=an+f(n)型递推公式)(1nfaann求法：累加法.),2(12,2,1,}{11的通项公式求数列有时当已知中在数列nnaanaannn练习：四、累乘法(形如an+1=f(n)•an型)例4.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,求{an}的通项公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－nan]=0∵an+1+an0∴(n≥1)11nnaann1213223121...nnnnnnn1∴an=...112aaa211nnnnaaaa注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得∴(n+1)an+1=nan练习1：12,3,.nnnnnaaaaa1已知中，求通项类型四、累乘法形如的递推式1()nnafna1234123123423221232113,3,3,3.......3,33333323nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa解：以上各式相乘得123(-1)(-1)2(-1)22323nnnnnna四、累乘法适用于an+1=anf(n)型的递推公式练习2五、迭代法例5.已知{an}中,an=3n－1+an－1,(n≥2),a1=1,求通项an.解:∵an=3n－1+an－1(n≥2)∴an=3n－1+an－1=3n－1+3n－2+an－2=3n－1+3n－2+3n－3+an－3=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+a1=3n－1+3n－2+3n－3+···+3+1=3n－12特点逐项代换(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)的递推式形如)1,0(1ppqpaann.}{,),(.:1求通项化为等比数列为待定系数其中令待定系数法求法nnnaapa六待定系数法（构造法）例6：111,21.nnnnaaaaa数列满足,求解：由题意可知：an+1+1=2(an+1)所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.所以an+1=2n,即an=2n-1反思：待定系数法如何确定x？待定系数法：令an+1+x=p(an+x)即an+1=pan+px-x根据已知x=1(1)11nnqqappp所以数列{}是等比数列.1nqap12,3+2,.1练:已知中，求通项nnnnaaaaa类型七、相除法形如的递推式11nnnaAaBA例8：1113,33,nnnnaaaaan数列满足:求通项公式.1111133133133-11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）【变式迁移】已知数列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列｛an｝的通项公式.nna21解：（1）方法1：（构造法）因为a1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以当n≥2时，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以，所以，,1212111nnnaan,1212111nnnaan所以是以为首项，以1为公差的等差数列.方法2：（代入法）因为a1＝5,n≥2时，所以，所以是以为首项，以1为公差的等差数列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.nna21221na111112121)122(2121nnnnnnnnnaaaanna21221na1)1(221nannnnnnnnnnnnnnnnaaaaaqpqppxqaxpxqapqxapqapa求中，：已知数列例只能用方法一解决）若用于的等比数列（此法只适是公比为转化为得与已知递推式比较后解列，令待定系数法构造等比数相除法（略）方法二：方法一形如递推式为,)21(31,657,,)1)((:)1(111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaabbbbbabaa)21(3)31(2,33234)21(332343323,132)21(,1)21(32)21(211111111）（）（），（即令得）解法一：两边同除以（nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaxxaaxaaxaxa)21(3)31(2,3132)21(332)21(331)21(3))21(3(31)21(3,3,1)31()21(31)21()31(31))21((31)21(1111111111）（的等比数列为首项为公比，以是以数列比较得与方法二：令练习.已知数列{an}中a1=2，an+1=4an+求数列{an}的通项公式。12n.)(:111后累加法求解待定系数法或化为求法nnnnnpnfpapa反思)1,0)((1ppnfpaann形如例9：111,,21nnnnnaaaaaa数列满足:求通项公式八取倒法形如的递推式1nnnpaaqap111n11n12111221a112aannnnnnaaaaaa解：是以为首项，以为公差的等差数列1111(1)22121nnnnaaan.}{,12,1,}{111的通项公式求中已知数列nnnnnaSSSaa练习形如的递推式11nnnnaapaa例10：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求11111112211-211545-1(-2)-222245nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan解：是以为首项，以为公差的等差数列（）八取倒法nnnnnnnnnnnnannaaaapCBnAnacbnannfpyxnayxyxnapynxabnaapanfnfapa求满足例；数列的等比数列以公比为转化为的等比数列，若以公比为转化为解出令方法一：如为一次或二次函数），（形如递推式为),2(123,4)(,)()1(,)()(1122111132132136361611131)1(31232))1((3321133221233323),2)()1((31111111111nabbabbbbbbnabnanayxxyxnaaxyxnaanynxaxnannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn为首项得等比数列为公比，以是以则令得与解：令nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaBAxBnAanxBnAaxxaBABxAxanBxAxaxxxxqpxxyxxaayxaaqapaa得得方程组求出代入与再令，令当得得方程组求出代入与再令，令当求出方法二：特征根法，令得出与上式比较令方法一：待定系数法，型递推式为其他三阶递推式：形如,)(21,)(,21,,,0,)(1121)1(2)1(1)1(2)1(1212121111nnnnnaaaaaaa求中例：在数列,32,7,1,1121nnnnnaaaaaaa求中例：在数列,32,7,1,1121nnnnnnnnnnBxAxaBABABAaaBxAxaxxxx)1(3232)1(12,1731,7,1,3,1,0321111211211211212又得方法一：令nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaayxaaaaa