一元二次方程根与系数的关系复习课

九年级数学(人教版)上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系acxxabxxxxacbxax2121212,,,)0(0则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx2121212,,0则：，的两根为若方程推论1推论20,2121221xxxxxxxx）（方程是为根的一元二次以两个数说出下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=4(2)2x2-3x+=021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-234134在使用韦达定理时，应注意：⑴、不是一般式的要先化成一般式；⑵、在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写。（3）前提是方程有实数根即Δ≥0几种常见的求代数式的值21113xx、2121xxxx)2)(2.(621xx4)(22121xxxx1221.5xxxx212221xxxx21212212)(xxxxxx21.7xx221)(xx212214)(xxxx22211xx、2212212xxxx、221)(4xx、引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,（2）若两根互为倒数,（3）若一根为0,（4）若一根为1,（5）若一根为1,（6）若a、c异号,补充规律：则b0;则ac;则c0;则abc0;则abc0;方程一定有两个实数根.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解法一：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1＋2=k+1x1●2=3k解这方程组，得x1=－3k=－2答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解法二：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由韦达定理，得x1●2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。解：设方程的两根分别为和，则：而方程的两根互为倒数即所以：得：例2.方程的两根互为倒数，求k的值。01232kkxx1x2x1221kxx121xx112k1k例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值。解：设方程的两根分别为x1和x2，则：x1·x2=3-3=k∴k=-9作用2：求代数式的值例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1,x2。求下列代数式的值。(1)x12+x22（2）（3）(x1+1)(x2+1)2111xx(4)x1-x2（5）121xx+1546231xx）（2．已知方程x2＋3x＋m＝0的两根为x1，x2，当m为何值时，3x1－x2＝4.解：∵3x1－x2＝4，∴3(x1＋x2)－4x2＝4.∵x1＋x2＝－3，∴3×(－3)－4x2＝4，x2＝－134.将x2＝－134代入原方程，得－1342＋3×－134＋m＝0，m＝－1316.例2.已知方程的两个实数根是且求k的值。解：由根与系数的关系得x1+x2=-k，x1·x2=k+2又x12+x22=4即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0解得：k=4或k=-2022kkxx2,1xx42221xx∵△=K2-4k-8当k=4时，△=-8＜0∴k=4(舍去）当k=-2时，△=4＞0∴k=-2例1.已知两个数的和是1，积是-2，求这两个数。解法一:设两数分别为x,y则:1yx2yx{解得:x=2y=－1{或ｘ＝－1y=2{解法二:设两数分别为一个一元二次方程的两根则:022aa求得1,221aa∴这两个数为2和-１作用3：已知两个数的和与积，求两数例2.已知两数之和为14，乘积为-51，求这两数.作用3：已知两个数的和与积，求两数3.已知m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（其中m≠n）求(m-1)(n-1).解:由已知条件得，m,n是方程x2+2x-2009=0的两个不相等的实数根，由韦达定理得：m+n=-2,mn=-2009(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2009-(-2)+1=-2006课堂练习4.已知3m2-2m-5=0,5n2+2n-3=0.其中m,n为实数，求的值。nm1-解：∵3m2-2m-5=0与由于m,的关系没有给定，故应分两种情况：①当m=时，②当m≠时，可知m,是方程3x2-2x-5=0的两个根，则综合①，②得或05-12-132nn01-nm3835-4-)32(14-)1(1-22）（nmnmnmn1n1n1例1.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2-6x+2=0的两根平方的倒数.解：设方程x2-6x+2=0的两根为m,n,设所求方程的两根为x1,x2作用4：求作一个一元二次方程122212221111xxmnxxmn，6,2mnmn21804xx所求方程为【例2】已知方程x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的2倍．思路点拨：如果原方程的两个根为x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2.则所求方程为y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0，只要求出x1＋x2，x1x2便可解出．解：设原方程的两根为x1，x2，则新方程的两个根为2x1，2x2.又∵x1＋x2＝－3，x1·x2＝－2，∴2x1＋2x2＝－6,2x1·2x2＝－8.∴可设所求作的方程为y2－(2x1＋2x2)y＋2x1·2x2＝0.即y2＋6y－8＝0.【例2】已知方程x2＋3x－2＝0，不解这个方程，利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的各根的2倍．例1：已知方程x2-2(k-1)x+k2-2=0解：（1）设方程的两个根为x1,x2，则x10，x20作用5：研究方程根的情况（1）k为何值时，方程有两个负数根？22122124(1)4(2)02(1)020kkxxkxxk例1：已知方程x2-2(k-1)x+k2-2=0（2）k为何值时，方程有一正根和负根？解：(2)设方程的两个根为x1,x2，则x10，x20作用5：研究方程根的情况补充规律：一正根，一负根{△＞0x1x2＜0两个正根{△≥0x1x2＞0x1+x2＞0两个负根{△≥0x1x2＞0x1+x2＜0222124(1)4(2)020kkxxk22k例2：方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。∴△={即{m0m-10∴0m1)0(0122mmmxmx解：设方程的两个根为x1,x2，则x10，x20•1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值•解：∵a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根•∴a2+3a-7=0，a+b=-3，•则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4．课堂练习作业：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值。2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。解：∵x12+(m-2)x1+2=0,x22+(m-2)x2+2=0∴x12+2=2x1-mx1,x22+2=2x2-mx2又∵x1x2=2原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2)=2x1·2x2=4x1x2=4×2=8作业：已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的两个实数根，求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。5.已知：x1、x2是方程x2-x+a=0的两个实数根，且，求a的值.解：据题意得x1+x2=1；x1·x2=a∴3a2+2a-1=0，即.1a31a或又∵Δ=1-4a≥0，∴a≤41∴a=1/3舍去，∴a=-1.3112221=+xx3112221=+xx3∴22212221=+xxxx3)(2-)(∴22121221=+xxxxxx32-1∴2=aa*6.(孝感中考)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2.(1)求实数m的取值范围；(2)当x21－x22＝0时，求m的值．(2)由x21－x22＝0得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝12.∵1214，∴m＝12不合题意，舍去．若x1－x2＝0，即x1＝x2,∴Δ＝0.由(1)知m＝14.故当x21－x22＝0时，m＝14.解：(1)由题意得Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，解得m≤14.∴实数m的取值范围是m≤14.解：(1)由题意得Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，解得m≤14.∴实数m的取值范围是m≤14.(2)由x21－x22＝0得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝12.∵1214，∴m＝12不合题意，舍去．若x1－x2＝0，即x1＝x2,∴Δ＝0.由(1)知m＝14.故当x21－x22＝0时，m＝14.(2)由x21－x22＝0得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝12.∵1214，∴m＝12不合题意，舍去．若x1－x2＝0，即x1＝x2,∴Δ＝0.由(1)知m＝14.故当x21－x22＝0时，m＝14.(2)由x21－x22＝0得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝12.∵1214，∴m＝12不合题意，舍去．若x1－x2＝0，即x1＝x2,∴Δ＝0.由(1)知m＝14.故当x21－x22＝0时，m＝14.(2)由x21－x22＝0得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.若x1＋x2＝0，即－(2m－1)＝0，解得m＝12.∵1214，∴m＝12不合题意，舍去．若x1－x2＝0，即x1＝x2,∴Δ＝0.由(1)知m＝14.故当x21－x22＝0时，m＝14.7.已知方程x2+3x+1=0的两个根为求的值。,,解：2341150,.由韦达定理得：2（）31，22223)2121(92222（）0,3，同为负数8.已知关于x的方程x2+2（m-2）x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两根的积大21。求m的值。解∵△=4(m-2)2-4(m2+4)=-16m≥0∴m≤0设方程两个根为x1、x2，则由题意：x1+x2=-2(m-2),x1x2=m²+4x12+x22-x1x2=21(x1+x2)2-3x1x2=214(m-2)2-3(m2+4)=21m2-16m-17=0∴m1=-1，m2=17（不符合m≤0，舍去）∴m=-19.当m为何值时，2x2-3mx+2m+3=0的一个根是另一个根的两倍.解：设两根分别为,2,则由韦达定理得：3222322mm①②∴①2÷②得23322322mm即29922(23)mm即2230,mm整理得：(3)1)0mm即(31mm或298(23)mm代入得，031mm或10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是，求的m值。429解：设方程两根为x1,x2.则212-,22121+=•=+mx