搜索
函数、三角函数、不等式综合复习教学目标：掌握函数定义域、值域、极值和最值的求解方法。会证明函数的奇偶性，周期性和单调性。会利用三角变形公式将三角式化为一个三角函数的形式研究其性质，会利用正、余弦定理解三角形问题，掌握和函数相关的不等式解法及证明。教学重点：综合应用函数知识和分析问题及解决问题的能力。教学例题：1．已知函数（1）若的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若的值域为R，求实数a的取值范围。解析：（1）的定义域为R∴(a2－1)x2+(a+1)x+1＞0对x∈R恒成立或a=－1或a＜－1或a≤－1或∴实数a的取值范围是（2）的值域是R，即(a2－1)x2+(a+1)x+1的值域是（0，+∞）或a=1或∴实数a的取值范围是。2．已知函数的反函数为，。（1）若，求x的取值集合D；（2）设函数，当x∈D时，求的值域。解析：（1）∵值域为（－1，+∞）∴由∴D=[0，1]（2）由∴的值域为。3．已知函数是奇函数，当时有最小值2，且。（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点。若存在，求出这两点的坐标，若不存在说明理由。解析：（1）由是奇函数，∴∴，即∴c=0，∵a＞0，b∈N*，当x＞0时（当且仅当时等号成立）由x＞0时最小值是2∴，∴a=b2由，则，将a=b2代入∴∴，解出。∵b∈N*，∴b=1，∴a=b2=1∴（2）设存在一点（x0，y0）在的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在图象上∴∴当时，∴图象上存在两点，关于点（1，0）对称。4．设函数的定义域为R,对任意实数x1,x2恒有,且，。（1）求的值；（2）求证是偶函数，且；（3）若时，，求证在[0，π]上是减函数。解析：（1）令x1=x2=π，由则有∴∴（2）由∴，即是偶函数。由，∴，即（3）设，则∵且在上∴，，即时恒有。设0≤x1＜x2≤π，则，∴，∴∴故在上是单减函数。5．已知函数，x∈R。（1）求的最小正周期和最大值；（2）函数的图象能否由的图象按某个向量平移得到，若能求出向量，若不能说明理由。解析：（1）∴，最小正周期为2π当，即时，。（2）设图象可由向量平移得到∴，∴，又由T=2π，∴。6．在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C的对边，且。（1）求角B大小；（2）若，a+c=4，求△ABC面积。解析：（1）方法一由正弦定理及∴即∴∴∵B+C=π－A∴∴∵∴，方法二：由余弦定理整理得a2+c2―b2=―ac∴∴（2）将，a+c=4，代入13=16－ac，∴ac=3∴7．设函数，。若图象的一条对称轴是直线。（1）求；（2）求的单调增区间；（3）证明直线5x+2y+c=0与的图象不相切。解析：（1）∵是图象的一条对称轴∴∴∵，∴（2）由，∴由∴∴的单增区间为（3）∴∵5x－2y+c=0的斜率为∴直线5x－2y+c=0不与的图象相切。8．在△ABC中，内角A，B，C对边为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且。（1）求的值；（2）设，求a+c的值。解析：（1）由，∴B为锐角∴由a，b，c成等比，∴b2=ac由正弦定理得∴（2）由∴ac=2，∴b2=ac=2由余弦定理∴∴(a+c)2=9，a+c=3。9．已知函数。若的最大值是4，最小正周期为π，且。（1）求a，b的值；（2）要使成为偶函数，需将图象向左平移的最小值是多少？解析：（1）其中，由的最大值是4，∴，即a2+b2=9由的最小正周期为π，且ω＞0∴，即∴由∴解方程组解出或（不满足a·b≠0）∴，。（2）将，代入令，∴为对称轴。当k=0时，是y轴右侧离y轴最近的对称轴。∴将图象左移最小值，可使成为偶函数。10．已知函数的定义域为D，导函数满足且，常数C1为方程的实根，常数C2为方程的实根。（1）若对任意存在，使成立，求证方程不存在异于C1的实数根；（2）求证：当x＞C2时，总有成立；（3）对任意x1，x2，若满足|x1－C1|＜1，|x2－C1|＜1，求证：。解析：（1）设方程存在异于C1的实根m，则，∴成立∵m≠C1，∴，这与条件矛盾∴假设不成立，故方程不存在于C1的实根。（2）令，∴为单减函数由C2为的实根，∴∴当x＞C2时，，即成立。（3）不妨设x1≤x2∵。∴为单增函数即∵，∴∴为单减函数∴∴∴∴。11．函数定义域为R，并满足下列条件：①对任意x∈R，有；②对任意x，y∈R有；③。（1）求的值；（2）证明是R上的单增函数；（3）若a＞b＞c＞0且b2=ac，求证：解析：（1）令x=0，y=2∴，∴∵x∈R，，∴故，∴（2）∵∴∴∵∴是R上单增函数。（3）∵∴∴本周练习1．函数，（x≠0），若为偶函数且不恒等于0，则是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．函数对x∈R有，且当x＞2时为增函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞cB．b＜a＜cC．a＜b＜cD．a＜c＜b3．函数的最小值是（）A．2B．3C．4D．－44．当时，函数的最小值为（）A．2B．C．4D．5．函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数满足，当x∈[3，5]时，，则（）A．B．C．D．7．函数的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．8．函数在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为（）A．（1，3）B．（－1，3）C．（1，0）D．（－1，0）9．函数在点M（1，0）处的切线方程是________________。10．已知函数，。若在处有极值，则a=________。若在[―3，―2]上是增函数，则a的取值范围是________。参考答案：1．A2．C3．B4．C5．B6．D7．B8．C9．x+2y―1=010．，