计算方法作业参考答案(不断更新)

第一次作业1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。9800107480.566.385031.01021.1*65*5*4*3*2*1xxxxxx解：1*11011021.01021.1x，有5位有效数字，绝对误差限为4-5-1105.0105.0；1-*21031.0031.0x，有2位有效数字，绝对误差限为3-2-1-105.0105.0；3*3103856.06.385x；有4位有效数字，绝对误差限为-14-3105.0105.0；2*41056480.0480.56x；有5位有效数字，绝对误差限为3-5-2105.0105.0；65*5107.0107x；有1位有效数字，绝对误差限为51-6105.0105.0；4*6109800.09800x；有4位有效数字，绝对误差限为5.0105.04-4。2.要使20的近似值的相对误差限小于%1.0，要取几位有效数字？解：由于110447213595.047213595.420，设要取n位有效数字，则根据定理1.1.1，有%1.010811021111nnrx，解得4n，即要取4位有效数字。3.序列ny满足递推关系,,2,1,1101nyynn若41.120y，计算到10y时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？解：*00*222*11*101010yyyyyyyynnnnnnn，由于*0y有3位有效数字，且1*010141.041.1y，所以*0y的绝对误差限为2-105.0，因此*10y的绝对误差限为72-10105105.010。很明显这个计算过程不是数值稳定的。作业中出现的问题：第一题：主要是第五个数5*5107x，不知道它有几位有效数字，很多同学认为有5或者6位有效数字，这是不对的，进而算错绝对误差限。另外有个别同学分不清有效数字的概念，六个数的有效数字都弄错了。第二题：主要是算错n，不知道该取3还是4。第三题：没有什么大的问题。有个别同学一个数一个数的算出来了，这是不可取的。直接迭代误差就行了。附：地物1301班和1302班有几个同学花名册上没有名单，我添加上去了。第二次作业1.利用二分法求方程在[2,3]内根的近似值，并指出误差。解：，当时，，则在[2,3]上有且只有一个根。取，;取，;取，;取，;故可取根的近似值为;误差|≤。2.证明方程在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于的根需要二分区间多少次？解：令，，故，且，故在[0,1]内有唯一的根。设需要二分区间次，则有，故需要二分区间14次。3.为求方程在附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1)，迭代公式;(2)，迭代公式;(3)，迭代公式。试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。解：设，则，，所以方程在[1.4，1.5]上有根。(1)，，，当时，，所以迭代格式收敛。(2)，，，当时，，所以迭代格式收敛。(3)，，，当时，，所以迭代格式发散。选择迭代格式(2)，.计算到，具有四位有效数字。作业中出现的问题：第一题：有的同学没有讨论根的存在唯一性，再就是没有二分足够的次数或者分的次数太多，另外不会利用误差公式来计算误差。第二题：没有什么大问题，有部分同学算的时候没有减一，导致结果是15次。第三题：有的同学选取的区间不对（太大），导致分析收敛性的出错，其次是有的同学利用迭代公式(1)计算，这样计算的很慢，很繁琐，推荐使用迭代公式(2)计算比较好，另外计算的时候，没有分清什么是有效数字，导致计算结果不对。第三次作业1.求方程在附近的一个根，试分析三种迭代公式的收敛性：(1)，迭代公式;(2)，迭代公式;(3)，迭代公式。解：设，则，，所以方程在[1.4，1.5]上有根。(1)，，，当时，，所以迭代格式收敛。(2)，，，当时，，所以迭代格式收敛。(3)，，，当时，，所以迭代格式发散。选择迭代格式(2)，.计算到，具有四位有效数字。2.应用牛顿法解方程03ax，导出求立方根3a的近似公式。解：令axxf3，则3a为方程0xf的根，且2'3xxf，则求3a的牛顿迭代公式为22312313kkkkkkxaxxaxxx。当3a时，取5.10x，通过计算可得44224.1,44225.1,4444.1321xxx，取四位有效数字所以442.133。3.利用割线法求0133xx在2x附近的一个根，取9.1,210xx，保留四位有效数字。解：令133xxxf，初值9.1,210xx，利用公式1313131313131kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx进行迭代：8794.18795.18796.18800.10389.09189.18813.17.79.1/1.07.69.19.16543332xxxxx综上，0133xx在2x附近实根精确到四位有效数字的近似值为1.879。作业中出现的问题：第一题：没有什么大问题。第二题：没有什么大问题，有个别同学迭代公式写错了，导致结果出错。第三题：主要要是四位有效数字，有很多同学都计算错了。迭代公式基本没错。第四次作业1.xy在144121100、、x三处的值是容易求得的，试以这三点建立xy的抛物插值公式，并近似求115之值，且给出误差估计。解：先给出线性插值函数：4421)144)(121()144100)(121100()144)(121()(0xxxxxl2321)144)(100()144121)(100121()144)(100()(1xxxxxl2344)121)(100()121144)(100144()121)(100()(2xxxxxl接着利用这三个插值函数构造抛物插值公式：2344)121)(100(122321)144)(100(114421)144)(121(10)(2xxxxxxxp则我们可以得到115的近似值：7227.102344)121115)(100115(122321)144115)(100115(114421)144115)(121115(10115)115(2p下面给出误差估计：)144)(121)(100(161)144)(121)(100)((!31)(25)3(xxxxxxfxR其中144,1000011502.0115R2.已知函数表x1.12751.15031.17351.1972xfy0.11910.139540.159320.17903应用Lagrange插值多项式计算1300.1f的近似值。解：3231303210232120231013121013200302010321332211003yxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxlyxlyxlyxlxp则有1214.01300.11300.13pf作业中出现的问题：第一题：没有什么大问题，只是有个别同学计算错误。另外计算误差的时候，有个别同学算的挺离谱的，还有就是不必计算到4阶导数值，误差公式得记得。第二题：没有什么大问题，有个别同学只用了两个插值函数。少数同学计算错误。第五次作业1.若137xxxf，问：？？821072102,2,2,22,2,2,2ff解：由差商性质banfxxxfnn,!,,10可得0!802,2,2,21!7!72,2,2,282107210ff2.已知函数表：x1.6151.6341.7021.8281.921xf2.414502.464592.652713.030353.34066构造出差商表，并利用Newton插值多项式计算xf在813.1,682.1x处的值。解：由给定的数据做差商表如下：kxkxf一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1.6152.414501.6342.464592.636321.7022.652712.766471.495981.8283.030352.997141.18902-1.441131.9213.340663.336671.550371.259068.82415则Newton插值多项式为82415.8828.1702.1634.1615.144113.1702.1634.1615.149598.1634.1615.163632.2615.1615.14xxxxxxxxxxxN则，98332.2813.1f59612.2682.1f3.给定函数表：x1.001.051.101.151.20xf1.001.2576251.5310001.8208752.12800试利用Newton向前插值公式计算xf在03.1x处的值。解：由给定的数据做差分表如下：kxkxfkyky2ky3ky41.001.001.051.2576250.2576251.101.5310000.2733750.015751.151.8208750.2898750.016500.000751.202.128000.3071250.017250.0007506.005.0103.10hxxt则Newton向前插值公式为00075.0!326.016.06.001575.0!216.06.0257625.06.000.14xN则152727.103.1f4.设有某实验数据如下：x1.361.491.731.811.952.162.282.48y14.09415.06916.84417.37818.43519.94920.96322.495试用最小二乘法分别求一次及二次多项式曲线拟合以上数据。解：（1）假设bxay，利用数据计算以下和式：26.1581iix，1556.30812iix，227.14581iiy，83628.28481iiiyx则有916.326.151556.30883628.28426.15227.1451556.3082281812818181812iiiiiiiiiiiiixxyxxyxa464.726.151556.308227.14526.1583628.2848882281812818181iiiiiiiiiiixxyxyxb则有近似一次多项式为916.3464.7xy（2）假设2210xaxaay，利用数据计算以下和式：528778.61813iix，1177581.129814iix，3678718.577812iiiyx，可得方程组：3678718.57783628.284227.1451177581.129528778.611556.30528778.611556.3026.151556.3026.158210aaa求解