递推公式求通项公式(练习)

1由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。方法一：累加法形如an+1－an＝f(n)（n＝2,3,4,…）,且f(1)＋f(2)＋…＋f(n-1)可求，则用累加法求an。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。例1：（07年北京理工农医类）已知数列{an}中，a1＝2,an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2,3,…)且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列（1）求c的值；（2）求{an}的通项公式方法二：累乘法形如an+1an＝g(n)（n＝2,3,4…），且f(1)f(2)…f(n－1)可求，则用累乘法求an.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例2：设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1,2,3…)，求它的通项公式。2方法三：构造新数列法构造新数列法：将递推关系经过适当的恒等变形转化为特殊数列的递推关系（等差数列、等比数列、常数列或等差数列和等比数列的求和形式），以下类型均采用这种解法。类型一:an＋1＝Aan＋B(A,B∈R,A≠0)线性递推关系当A≠0，B＝0时，an＋1＝Aan是以A为公比的等比数列；当A≠0，B≠0时，an＋1＝Aan＋B可变形为an＋1＋BA－1＝A（an＋BA－1），此时就构造出了{an＋BA－1}这样一个以a1＋BA－1为首项，以A为公比的新的等比数列，从而求出an。例3：（07年全国理科卷）已知数列{an}中，a1＝2,an＋1＝（2－1）（an＋2），n＝1,2,3,…，求{an}的通项公式。类型二：an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝cp－q,则由原递推公式构造出了an＋1＋cp－q·qn+1＝p(an＋cp－q·qn)，而数列{an＋cp－q·qn}是以为首相以为公比的等比数列。方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1,则有an+1pn+1＝anpn＋cqnpn+1然后利用累加法求得。可见对于同一个题型的构造的新数列类型可能不唯一，所以要注意巧妙构造。3例4：（07年唐山二摸）在数列{an}中，a1＝16，an＝12an＋12·13n(n∈n*,n≥2),求{an}的通项公式。类型三：an＋2＝pan＋1＋qan(其中p,q均为常数)方法：先把原递推公式转化为an＋2－san＋1=t(an＋1－san)，其中s,t满足s＋t＝ps·t＝－q，再利用等比数列来求解。例5：已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an＋2＝23an＋1＋13an,求{an}的通项公式。（特征根法）类型四、同除法构建例6．已知数列na*()nN中,11a,121nnnaaa,求数列na的通项公式.4配套练习：1、已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n,求an。2、（04年唐山二摸）已知数列{an}满足a1＝1，2n-1an＝an－1(n∈N,n≥2)，求an。3、（06年福建卷）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n≥2），求an。4、已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋(12)n+1，求an。5、已知数列{an}中,a1=0,a2=2,an＋1＋an－1＝2(an＋1)(n≥2),求{an}的通项公式。6、已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋n＋2,求an。7、已知na满足11122,2nnnaaa，求na。8、已知数列na中,,122nnnaaa,求数列na的通项公式.