高数答案(下)习题册答案-第六版--下册-同济大学数学系-编

第八章多元函数的微分法及其应用§1多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222yyxfyxyxyxyxf求.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(yxyxyxf};1|),{(22xyyx2、xyzarcsin};0,|),{(xxyyx三、求下列极限：1、222)0,0(),(sinlimyxyxyx（0）2、xyxxy3)2,(),()1(lim(6e)四、证明极限242)0,0(),(limyxyxyx不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2xy趋于（0，0）时，极限为21,二者不相等，所以极限不存在五、证明函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在整个xoy面上连续。证明：当)0,0(),(yx时，为初等函数，连续),(yxf。当)0,0(),(yx时，)0,0(01sinlim22)0,0(),(fyxxyyx，所以函数在（0，0）也连续。所以函数在整个xoy面上连续。六、设)(2yxfyxz且当y=0时2xz，求f(x)及z的表达式.解：f(x)=xx2，zyxyyx2222§2偏导数1、设z=xyxexy,验证zxyyzyxzx证明：xyxyxyex,exyeyyzxz，zxyxexyxyxyyzyxzx42244222222)()),,((yyxxyyxyyxf答案：2、求空间曲线21:22yyxz在点（1,21,23）处切线与y轴正向夹角(4)3、设yxyxyyxfarcsin)1(),(2,求)1,(xfx(1)4、设yzxu,求xu，yu，zu解：1yzxyzxu，xxyzyuyzln2xxyzuyzln15、设222zyxu，证明:uzuyuxu22222226、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由0,00,1sin),(222222yxyxyxxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx连续；201sinlim)0,0(xfxx不存在，0000lim)0,0(0yfyy7、设函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求xbxafbxafx),(),(lim0（2fx(a,b)）§3全微分1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________(A)必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）xyez)1(2dyxdxxyedzxy2）)sin(2xyz解：)2()cos(22xydydxyxydz3）zyxu解：xdzxzyxdyxzdxxzyduzyzyzylnln1213、设)2cos(yxyz，求)4,0(dz解：dyyxyyxdxyxydz))2sin(2)2(cos()2sin()4,0(|dz=dydx244、设22),,(yxzzyxf求：)1,2,1(df)542(251dzdydx5、讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性解：)0,0(01sin)(lim2222)0,0(),(fyxyxyx所以),(yxf在（0，0）点处连续。0)0,0(),0(lim)0,0(,0)0,0()0,(lim)0,0()0,0(),()0,0(),(yfyffxfxffyxyyxx0)()(0),(22yxyxf，所以可微。§4多元复合函数的求导法则1、设tvevtuuz,sin,，求dtdz解：dtdz=1cos.(sin)lnsin(sin)ttetetttette2、设,)(32yxyxz，求yzxz,23123(23)()3()ln(),xyxyzxyxyxyxyy3、设)(2xyfxzn，f可微，证明nzyzyxzx24、设)2,(22xyyxfz，其中f具有二阶连续偏导数，求22xz，yxz2，22yz解：1222zxfyfx,1222zyfxfy,21112221222((2)2)22((2)2)zxfyfxfyfyfxxy=221111222244()4fxyfxyfxyf222111122222484zfxfxyfyfx,222111122222484zfyfxyfxfy5、设)(),(yxgxyxyfz，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求yxz2解：1221zyfyfgxxy，2111122122222231111()()zyxfyfxfffxfggxyxxxxyy6、设),,(zyxFu，),(yxfz，)(xy，求dxdu解：dxdu))(()(321xffFxFFyx。7、设),(vuzz，且变换ayxvyxu2可把方程226xzyxz222yz=0化为02vuz，其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值)3(a证明：vzuzxzvzauzyz22222222vuvuzuzxz2222222244vuavuzauzyz222222)2(2vuavuzauzyxz得：0)6()510(2222vuaavuzaa=38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,af)1,1(/1,bf)1,1(/2又，)],(,[,)(xxfxfxfx求).1(和)1(/(1),(a+ab+ab2+b3)§5隐函数的求导公式1、设yxyyln，求dxdy解：令(,)lnFxyyyxy，11,ln,lnxydyFFydxy2、设),(yxzz由方程)(222yzyfzyx确定，其中f可微，证明xzyzxyxzzyx22)(2223、设),(yxzz由方程zyezx所确定，其中f可微，求yxz2,1,)1(zzyzzxzxzyxz23)1(zxz4、设222221yxzzyx，求dxdy，dxdz(dyxdxy，0dzdx)5、设),(yxzz由方程0),,(xzzyxyF所确定，F可微，求yzxz,解：令(,,)Fxyz(,,)Fxyyzxz，则13122323,yxzzFFFyzFFxFzzxFyFFxFFxF6、设),(yxfz由方程0yxzeyxz所确定，求dz(dydxdz)7、设z=z(x,y)由方程yzyzxxy3)cos(3所确定，求xz,yz,)sin(3)cos(3ln.32yzxyzyzyxzxy,)sin(31)sin(3ln3.2yzxyzyzxzxyzxy§6微分法在几何中的应用1、求螺旋线tztytx3,sin2,cos2在对应于4t处的切线及法平面方程解：切线方程为3224322zxy法平面方程0)43(3)2(2)2(2zyx2、求曲线22222250yxzzyx在（3，4，5）处的切线及法平面方程解：切线方程为053443zyx，法平面方程：034yx3、求曲面932222zyx在（1，-1，2）处的切平面及法线方程解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2zyx及法线方程223121zyx4、设),(vuf可微，证明由方程0),(bzaybzaxf所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明：令),(),,(bzaybzaxfzyxF，则),,(,,,21212121bfbfafafnbfbfFafFafFzyx0),,(abbn，所以在（000,,zyx）处的切平面与定向量（abb,,）平行。5、证明曲面32323232azyx0(a）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为2a证明：令),,(zyxF32323232azyx，则,32,32,32313131zFyFxFzyx在任一点000,,zyx处的切平面方程为0)()()(031003100310zzzyyyxxx在在三个坐标轴上的截距分别为,,,323103231032310azayax在三个坐标轴上的截距的平方和为2a证明曲面)(xyxfz上任意一点)0(),,,(0000xzyxM处的切平面都通过原点7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t,总有),,(),,(zyxFttztytxFkk为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明：),,(),,(zyxFttztytxFk两边对t求导，并令t=1),,(zyxkFzFyFxFzyx设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：))(,,(0000xxzyxFx+))(,,(0000yyzyxFy+))(,,(0000zzzyxFz=0此平面过原点（0，0，0）§7方向导数与梯度1、设函数22),(yxyxyxf，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为,5)3,1(jigradfsin5cos)3,1(lf,方向导数达到最大值的方向为)5,1(s，方向导数达到最小值的方向为)5,1(s。2、求函数222zxyzxyu在（1，2，-1）处沿方向角为0001509060的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：：方向导数为2331)1,2,1(lu，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向kjigradu352)1,2,1(，此时最大值为38)1,2,1(lu3、求函数32zxyu在（1，1，-1）处沿曲线32,,tztytx在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。解：：223323,2,zxyzuxyzyuzyxu，)3,2,1(s，该函数在点（1，1，-1）处的方向导数为144)1,1,1(lu，4、求函数)ln(222xzyu在（1，1，-1）处的梯度。解：：2222222222,2,2zyxzzuzyxyyuzyxxxu，kjigradu323232)1,1,1(§8多元函数的极值及求法1、求函数22233),(22