吉林省长春市2019届高三质量监测(一)数学理

·1·吉林省长春市2019届高三质量监测（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22cossin33zi在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合{|(2)(3)0}Axxx，则AN（N为自然数集）为（）A．(,2)(3,)B．(2,3)C．{0,1,2}D．{1,2}3.ABC是边长为1的等比三角形，已知向量,ab满足2ABa，2ACab，则下列结论正确的是（）A．||2bB．abC．12abD．1()4abBC4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）A．164石B．178石C．189石D．196石5.命题：“00x，使002()1xxa”，这个命题的否定是（）A．0x，使2()1xxaB．0x，使2()1xxaC．0x，使2()1xxaD．0x，使2()1xxa6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M处条件可以是（）A．32kB．16kC．32kD．16k·2·7.已知递减等差数列{}na中，31a，146,,aaa成等比，若nS为数列{}na的前n项和，则7S的值为（）A．-14B．-9C．-5D．-18．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A．342B．63C．362D．31229.已知原点到直线l的距离为1，圆22(2)(5)4xy与直线l相切，则满足条件的直线l有多少条？A．1条B．2条C．3条D．4条10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（）·3·11.双曲线2221yxb的左右焦点分别为12,FF，P为右支上一点，且1||8PF，120PFPF，则双曲线的渐近线方程是（）A．22yxB．26yxC．5yxD．34yx12.已知实数,ab满足ln(1)30bab，实数,cd满足250dc，则22()()acbd的最小值为（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.261()2xx展开式中的常数项是.14.动点(,)Pxy满足20030xyyxy，则2zxy的最小值为.15.已知三棱锥SABC，满足,,SASBSC两两垂直，且2SASBSC，Q是三棱锥SABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为.16.如图，直角ABC中，1,2ABBC，90ABC，作ABC的内接正方形1BEFB，再做1BFC的内接正方形1112BEFB，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列{}na，其前n项和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）·4·17.（本小题满分12分）已知23()cossin3cos2fxxxx.（1）求()fx的单调增区间；（2）在ABC中，A为锐角且3()2fA，3ABACAD，3AB，2AD，求sinBAD.18.（本小题满分12分）某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg，已知当年产量低于350kg时，单位售价为20元/kg，若当年产量不低于350kg而低于550时，单位售价为15元/kg，当年产量不低于550kg时，单位售价为10元/kg.（1）求图中,ab的值；（2）试估计年销售额的期望是多少？19.（本小题满分12分）已知四棱锥PABCD中，底面为矩形，PA底面ABCD，1PABC，2AB，M为PC上一点，且BP平面ADM.（1）求PM的长度；（2）求MD与平面ABP所成角的余弦值.·5·20.（本小题满分12分）以边长为4的等比三角形ABC的顶点A以及BC边的中点D为左、右焦点的椭圆过,BC两点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点D且x轴不垂直的直线l交椭圆于,MN两点，求证直线BM与CN的交点在一条直线上.21.（本小题满分12分）已知函数2()3fxxax，ln()kxgxx，当2a时，()fx与()gx的图象在1x处的切线相同.（1）求k的值；（2）令()()()Fxfxgx，若()Fx存在零点，求实数a的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，F为圆O上一点，点A在直线BD的延长线上，过点B作圆O的切线交AE的延长线于点C，CECB.（1）证明：2AEADAB；（2）若4,6AECB，求圆O的半径.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C的参数方程为2cossinxy（为参数）.（1）求曲线1C的直角坐标方程；（2）曲线2C的极坐标方程为()6R，求1C与2C的公共点的极坐标.·6·24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|fxxx的最大值为k.（1）求k的值；（2）若,,abcR，2222acbk，求()bac的最大值.长春市普通高中2019届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B2.C3.D4.C5.B6.C7.A8.C9.C10.D11.B12.A简答与提示：1.【命题意图】本题考查复数的实部和虚部运算与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】B题意可知，21cos32，23sin32，则13z22i，对应的点在第二象限.故选B.2.【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】C由已知|23Axx，则0,1,2AN，故选C.3.【命题意图】本题考查平面向量的几何表示中的加、减、数乘、数量积运算.【试题解析】D由已知，ABC的边长为1，21ABa，所以12a，ACABBC，则1BCb，因为2,3ab，故选D.4.【命题意图】本题主要抽样中的用样本去估计总体.·7·【试题解析】C由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为271=2168，则由此估计总体中谷的含量约为11512=1898石.故选C.5.【命题意图】本题是对逻辑问题中的特称命题的否定进行考察.【试题解析】B由已知，命题的否定为0x，2(1xxa使），故选B.6.【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】C有已知，1,0ks，1,2sskk，3,4sk，7,8sk，15,16sk，31,32sk，符合条件输出，故选C.7.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的基本量的求取.【试题解析】A由已知，3121aad，2416()aaa即2111(3)(5)adaad，且na为递减数列，则11,1da.有714S，故选A.8.【命题意图】本题主要考查三视图的还原，还涉及体积的求取.【试题解析】C由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为211(122)322V，故选C.9.【命题意图】本题主要考查相离两圆的公切线的相关知识.【试题解析】C由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点(25)，的距离为2，满足条件的直线l即为圆221xy和圆22(2)(5)4xy的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线.故选C.10.【命题意图】本题背景基于经典国学故事，考查图像对函数特点的描述.【试题解析】D由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D.11.【命题意图】本题考查双曲线的定义及渐近线的相关知识.【试题解析】B由已知1a，18PF，则26PF.又因为120PFPF，则1210FF，即5c.则渐近线方程为26yx，故选B.12.【命题意图】本题是考查导数的几何意义，但因为函数隐含在里面，不容易分离出来.【试题解析】A因为ln(1)+30bab，则=3ln(1)abb，即3ln(1)yxx因为·8·250dc，则25cd，即25yx.要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值.因为132311xyxx，则2y，有0x，0y，即过原点的切线方程为2yx.最短距离为225121d.故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.151614.315.43316.])94(1[54nnS简答与提示：13.【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】常数项为422456115()()216TCxx.14.【命题意图】本题考查线性可行域的画法及线性目标函数的最值求法.【试题解析】由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点3,0（）取最小值3.15.【命题意图】本题考查三棱锥的外接球问题，特别涉及到了三棱锥和长方体的外接球之间的关系.【试题解析】由已知，可将三棱锥SABC放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC距离最大的点应该在过球心且和面ABC垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则223r.则到面ABC距离的最大值为22432)(23)333r（.16.【命题意图】本题通过三角形为背景考查归纳推理及数列的相关知识，对学生的逻辑推理能力提出很高要求，是一道较难题.【试题解析】数列{an}构成以94为首项,以94为公比的等比数列,故])94(1[54nnS.·9·三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的化简以及恒等变换公式的应用，还有解三角形的内容，如正弦定理等.【试题解析】(1)由题可知133()sin2(1cos2)222fxxxsin(2)3x，令222232kxk≤≤，kZ，即函数()fx的单调递增区间为5[,]1212kk，kZ.（6分）(2)由3()2fA，所以3sin(2)32A，解得3A或2A（舍）因此31511351sinsin()324248BADAEB.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1)由已知，45515.06001005004.04001003001)0040.0015.0(100baba，即05.250030045.0)(100baba，有0035.0001.0ba.（6分）（2）由（1）结合直方图可知当年产量为kg300时，其年销售额为6000元；·10·当年产量为kg400时，其年销售额为6000元；当年产量为kg500时，其年销售额为7500元；当年产量为kg600时，其年销售额为6000元；则估计年销售额的期望为652515.0600035.075004.060001.06000（元）.（12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识.本题通过分层设计