吉林省长春市2020届高三质量检测(一)理科数学(解析版)

2020长春模拟一模理科第1页共9页长春市2020届高三质量监测（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}Axx≥，2{|30}Bxxx，则ABA.B.{|3,xx或x≤2}-C.{|3,xx或0}xD.{|3,xx或2}x≤2.复数252i+iz的共轭复数z在复平面上对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知31()3a，133b，13log3c，则A.abcB.cbaC.cabD.bca4.已知直线0xy与圆22(1)()2xyb相切，则bA.3B.1C.3或1D.525.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx，其相关指数2R0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A.0B.1C.2D.36.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为512时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为2020长春模拟一模理科第2页共9页A.(35)B.(51)C.(51)D.(52)7.已知,,abc为直线，,,平面，则下列说法正确的是①,ab，则//ab②,，则③//,//ab，则//ab④//,//，则//A.①②③B.②③④C.①③D.①④8.已知数列{}na为等比数列，nS为等差数列{}nb的前n项和，且21a，1016a，66ab，则11SA.44B.44C.88D.889.把函数()yfx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()yx(0,||)2的图象（部分图象如图所示），则()yfx的解析式为A.()2sin(2)6fxxB.()2sin()6fxxC.()2sin(4)6fxxD.()2sin()6fxx10.已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，且满足(2)()0fxfx，当[2,0]x时，2()2fxxx，则当[4,6]x时，()yfx的最小值为A.8B.1C.0D.111.已知椭圆22143xy的右焦点F是抛物线22(0)ypxp的焦点，则过F作倾斜角为60的直线分别交抛物线于,AB（A在x轴上方）两点，则||||AFBF的值为A.3B.2C.3D.412.已知函数21()(2)exfxxx，若当1x时，()10fxmxm≤有解，则m的取值范围为A.m≤1B.m1C.m1D.m≥1二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.381(2)xx展开式中常数项为___________.2020长春模拟一模理科第3页共9页14.边长为2正三角形ABC中，点P满足1()3APABAC，则BPBC_________.15.平行四边形ABCD中，△ABD是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD，现将△ABD沿BD折起，使二面角ABDC大小为23，若,,,ABCD四点在同一球面上，则该球的表面积为________.16.已知数列{}na的前项n和为nS，满足112a,且1222nnaann，则2nS，na__________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）△ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，tan()abAab.（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若10c，求△ABC的周长的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，//ABCD，ADDC，22ABADDC，E为PB中点.（Ⅰ）求证：//CE平面PAD；（Ⅱ）若4PA，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小.19.（本小题满分12分）某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分；不选或选错得0分.某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知点(1,0),(1,0)MN若点(,)Pxy满足||||4PMPN.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点(3,0)Q的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于,AB两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.21.（本小题满分12分）2020长春模拟一模理科第4页共9页已知函数()(1)lnfxxx,3()lnegxxx.（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)hxmfxgxm两个零点1212,()xxxx，证明：121exex.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为212222xtyt（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为24cos3.（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于,AB两点，点(1,2)P，求||||PAPB的值.23.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数()|3||1|fxxx.（Ⅰ）解关于x的不等式()1fxx≥；（Ⅱ）若函数()fx的最大值为M，设0,0ab，且(1)(1)abM，求ab的最小值.2020长春模拟一模理科第5页共9页长春市2020届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B【解析】{|||2}{|2,2}Axxxxx或≤≥，2{|30}{|0,3}Bxxxxxx或，∴AB{|3,xx或x≤2}-2.C【解析】252i+i2iz，则z2i，其对应点为(2,1)，在第三象限3.C【解析】01,1,0abc，∴cab4.C【解析】由圆心到切线的距离等于半径，得22|1|211b∴|1|2b∴13bb或5.D【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R0.9817趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.6.A【解析】1S与2S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S与2S所在扇形圆心角分别为,，则512，又2，解得(35)7.D【解析】①正确；②错误；③错误；④正确8.A【解析】2210661164aaaa∴，∴664ba，1161144Sb9.C【解析】由2sin(0)1π∴=6，由112sin()0212∴即2sin(2)6yx，横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6yx，即为()fx解析式.10.B【解析】由(2)()0fxfx得函数的周期为4，又当[2,0]x时，2()2fxxx，且()fx是定义在R上的奇函数∴[0,2]x时，2()2fxxx，∴当[4,6]x时，22()(4)(4)2(4)1024fxfxxxxx此时()fx的最小值为(5)1f.[法2：由周期为4，()fx在[0,2]上的最小值即为()fx在[4,6]上的最小值]11.C【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，∴12p∴2p，||1cos60pAF，||1cos60pBF,∴||10.53||10.5AFBF.12.C【解析】21()(2)exfxx∴()fx在(1,2)上递减，在(2,)上递增，当2x时，()0fx，又(1)1f，(2)1f，(2)0f∵(1)1f∴m1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13.112【解析】由3883(8)1881(2)()2(1)rrrrrrrrrTCxCxx有3(8)0rr得6r∴6866782(1)112TC2020长春模拟一模理科第6页共9页14.2【解析】112(())()()()333BPBCABACABACABACABACAB221248122233332ACABACAB15.20【解析】取AD,BC的中点分别为12,OO,过1O作面ABD的垂线与过2O作面BCD的垂线，两垂线交点O即为所求外接球的球心，取BD中点E，连结12,OEOE,则12OEO即为二面角ABDC的平面角，121OEOE，连OE，在Rt△1OOE中，13OO，在Rt△1OOA中，12OA得5OA，即球半径为5，所以球面积为20.16.221nn，1(1)(1)nnn【解析】由1222nnaann得21222(21)2(21)nnaann211(21)(21)2121nnnn∴2nS1113+1135+…+112121nn1121n.由111212a递推得277623a，311111234a，421212045a，归纳可得1(1)(1)nnn.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sinsinsincosAABA，即sincosBA，由ab，可得2AB，即ABC△是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC的周长1010sin10cosLAA，10102sin()4LA，由ab可知，42A，因此2sin()124A，即2010102L.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）取PA中点M，连结EM、DM，//////EMCDCEDMCEPADEMCDDMPAD平面平面.（6分）（Ⅱ）以A为原点，以AD方面为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D，(2,1,0)C，(0,0,4)P，(0,2,0)B，(0,1,2)E，(0,1,0)CD，(2,0,2)CE，平面CDE的法向量为1(1,0,1)n；平面ABCD的法向量为2(0,0,1)n；2020长春模拟一模理