线性代数解题方法和技巧

线性代数解题方法和技巧 -1-第一部分行列式一、行列式的概念(1)二阶与三阶行列式的对角线法则(2)n阶行列式的定义(3)余子式、代数余子式的定义【测试题】四阶行列式中含有1123aa的项是__________二、数字型行列式的计算计算数字型行列式的常见思路有：(1)如果在行列式的某一行（列）中，零的个数比较多，可按该行（列）展开；(2)利用行列式的性质，将行列式某行（列）中尽可能多的元素化为零，然后再按该行（列）展开（课本P.18例7的第二种解法）；(3)三角形法：利用行列式的性质，将给定的行列式化为上（下）三角形行列式（课本P.12例7、例8、例9）；(4)递推法或数学归纳法（课本P.15例11，P.18例12）；(5)利用范德蒙行列式；(6)利用拉普拉斯定理（同济第五版的线性代数没有介绍该定理，不作为期末考试要求）．【测试题】1．计算下列各行列式（kD为k阶行列式）：(1)11naDa=O，其中对角线上的元素都是a，未写出的元素都是0；(2)nxaaaxaDaax=LLMMML；线性代数解题方法和技巧 -2-(3)1111(1)()(1)()1111nnnnnnnaaanaaanDaaan−−−+−−−−=−−LLMMMLL；(4)11211nnnnnababDcdcd=ONNO，其中未写出的元素都是0．2．设3521110513132413D−−=−−−−，D的(,)ij元的余子式和代数余子式依次记作ijM和ijA，求11121314AAAA+++及11213141MMMM+++．3．四阶行列式11224334400000000ababDbaba=的值等于__________(A)12341234aaaabbbb−；(B)12341234aaaabbbb+；(C)12123434()()aabbaabb−−；(D)23231414()()aabbaabb−−．三、抽象型行列式的计算【测试题】1．设12312,,,,αααββ均为4维列向量，且已知4阶行列式1231,,,mαααβ=，1223,,,nααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=__________(A)mn+；(B)()mn−+；(C)nm−；(D)mn−．线性代数解题方法和技巧 -3-2．若1112132122233132331aaaDaaaaaa==，则1111121312121222331313233423423423aaaaDaaaaaaaa−=−=−__________3．设A为3阶矩阵，12A=，求：(1)1*(2)3AA−−；(2)*1(3)2AA−−．4．设A为n阶（实）矩阵，且满足TnAAE=．如果0A，求行列式AE+的值．5．设4阶矩阵A与B相似，A的特征值为1111,,,2345，求行列式1BE−−的值．四、行列式等于零的判定设A为n阶方阵，则与“0A=”等价的说法有：(1)A是奇异矩阵；(2)A是降秩矩阵，即()RAn；(3)n元齐次线性方程组0Ax=有非零解；(4)A的列（行）向量组中至少存在一个列（行）向量可以由其余1n−个列（行）向量线性表示；(5)A的列（行）向量组线性相关；(6)A至少有一个特征值等于零．【测试题】1．设A为n阶矩阵，且0A=，则下列各选项中正确的是__________(A)A中必有一列（行）的元素全等于零；(B)A中必有两列（行）的元素对应成比例；(C)A的列（行）向量组中必有一个列（行）向量可以由其余的列（行）向量线性表示；(D)A的列（行）向量组中任意一个列（行）向量都可以由其余的列（行）向量线性表示．2．设A为mn×矩阵，B为nm×矩阵，则下列各选项中正确的是__________(A)当mn时，必有行列式0AB≠；(B)当mn时，必有行列式0AB=；(C)当nm时，必有行列式0AB≠；(D)当nm时，必有行列式0AB=．线性代数解题方法和技巧 -4-第二部分矩阵一、矩阵的概念及运算1．矩阵的概念（方阵、行矩阵、列矩阵、同型矩阵、零矩阵、单位阵、对角阵、对称阵、纯量阵、伴随矩阵、可逆矩阵、奇异矩阵、非奇异矩阵、满秩矩阵、降秩矩阵、正交阵等）2．矩阵的运算矩阵的加法数乘矩阵矩阵的乘法*矩阵的转置*方阵的幂方阵的行列式*说明：重点复习带*号的矩阵运算．3．行列式与矩阵的区别行列式矩阵定义n2个元素排成n行n列，按照一定的规则确定一个数值．数表运算和性质矩阵的运算（§2.2，§2.3）用等号行列式的性质（§1.5）用等号矩阵的初等变换（§3.1，§3.2）用“～”号联系方阵的行列式【测试题】1．设A和B均为n阶矩阵，k为正整数，则下列各选项中正确的是__________（可以多选）(A)ABAB+=+；(B)ABBA=；(C)ABBA=；(D)111()ABAB−−−+=+；(E)111()ABAB−−−=(F)111()kAAk−−=；(G)111[()]()()TTTABAB−−−=；(H)TTABAB+=+；(I)TTABAB+=+；(J)()kkkABAB=⋅．2．设A和B均为n阶矩阵，且ABO=，则下列各选项中正确的是__________(A)AO=或BO=；(B)ABO+=；(C)0A=或0B=；(D)0AB+=．3．设,,ABC均为n阶矩阵，E为n阶单位阵，则下列各选项中正确的是__________线性代数解题方法和技巧 -5-(A)22()()ABABAB+−=−；(B)222()ABAB=；(C)由ACBC=一定可以推出AB=；(D)22()()AEAEAE−=+−．4．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，已知Aa=，Bb=，若分块矩阵3OACBO⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则C=__________(A)3ab−；(B)3mab；(C)(1)3mnmab−；(D)(1)(1)3mnmab+−；二、伴随矩阵设n阶方阵()ijnnAa×=，其中2n≥，则对于A的伴随矩阵*A有以下结论：(1)定义：1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML，其中ijA为元素ija的代数余子式（,1,2,,ijn=L）；(2)**AAAAAE==；(3)1*nAA−=，故当A可逆时，*A也可逆；(4)若||0A≠，则1*1AAA−=，*1AAA−=，1**11()()AAAA−−==；(5)**()()TTAA=；(6)*,(),()1,()1,0,()2.nRAnRARAnRAn=⎧⎪==−⎨⎪≤−⎩当当当【测试题】1．设A为(2)nn≥阶可逆矩阵，对于A的伴随矩阵*A，必有**()A=__________(A)1nAA−；(B)1nAA+；(C)2nAA−；(D)2nAA+．2．设A为(3)nn≥阶矩阵，对于A的伴随矩阵*A和常数(0,1)kk≠±，必有*()kA=__________线性代数解题方法和技巧 -6-(A)*kA；(B)1*nkA−；(C)*nkA；(D)1*kA−．3．设A和B均为(2)nn≥阶矩阵，**,AB分别为A和B的伴随矩阵，对于分块矩阵AOCOB⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，C的伴随矩阵*C=__________(A)**AAOOBB⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠；(B)**BBOOAA⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠；(C)**ABOOBA⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠；(D)**BAOOAB⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠．4．设3阶矩阵abbAbabbba⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，若A的伴随矩阵*A的秩等于1，则必有__________(A)ab=或20ab+=；(B)ab=且20ab+≠；(C)ab≠且20ab+=；(D)ab≠且20ab+≠．5．设100120123A⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，对于A的伴随矩阵*A，求1*()A−和*1()A−．三、可逆矩阵1．设A为n阶（实）方阵，则与“A为可逆矩阵”等价的说法有：(1)存在与A同阶的方阵B，使得ABE=（或BAE=）成立；(2)A是非奇异矩阵，即0A≠；(3)A是满秩矩阵，即()RAn=；(4)A可以表示为一些初等矩阵的乘积；(5)n元齐次线性方程组0Ax=只有零解（不存在非零解）；(6)A的列（行）向量组线性无关；(7)A的列（行）向量组是nR的一个基；(8)A的特征值都不等于零；(9)TAA为正定矩阵（不作为期末考试要求）．线性代数解题方法和技巧 -7-2．求逆矩阵的方法(1)伴随矩阵法：1*1AAA−=（最适合于2阶可逆矩阵）．设abAcd⎛⎞=⎜⎟⎝⎠可逆，则1*11dbAAcaAadbc−−⎛⎞==⎜⎟−−⎝⎠(2)初等行（列）变换法（适合于3阶或更高阶的可逆矩阵）：y若(,)~(,)rAEEX，则1AX−=；y若~cAEEX⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，则1AX−=；需要特别注意的是，在进行初等行变换时，绝对不能同时进行初等列变换．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(3)特殊分块矩阵的逆矩阵设n阶方阵A和s阶方阵B都可逆，则111AOAOOBOB−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；111OAOBBOAO−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；11111AOAOCBBCAB−−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠(4)定义法：给定矩阵方程()fAO=，求A或A的多项式的逆矩阵．【测试题】1．求3201022112320121−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−⎜⎟⎝⎠逆矩阵．2．设n阶矩阵,,ABC满足ABCE=，则下列各选项中正确的是__________(A)ACBE=；(B)BACE=；(C)BCAE=；(D)CBAE=．3．设11,,,ABABAB−−++均为n阶可逆矩阵，则111()AB−−−+=__________(A)11AB−−+；(B)AB+；(C)1()AABB−+；(D)1()AB−+．4．设n阶矩阵A满足24AAEO+−=，求1()AE−−．线性代数解题方法和技巧 -8-四、矩阵方程最基本的矩阵方程形如：AXB=和XAB=，其中,AB为已知矩阵，且A可逆，X为未知矩阵，这两个矩阵方程的解分别为1XAB−=和1XBA−=．对于一般的矩阵方程，设法利用矩阵的运算法则及恒定变形，将所给的矩阵方程化为上述基本形式之一，再进行求解．常见解法：(1)课本P.45例12；(2)课本P.65例3．【测试题】已知,AB为3阶矩阵，且满足124ABBE−=−，其中E为3阶单位阵．(1)证明：矩阵2AE−可逆；(2)若120120002B−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求矩阵A．五、列满秩矩阵设mn×矩阵A为列满秩阵，即()RAn=，则有以下结论：(1)A的行最简形矩阵为nmnEO×⎛⎞⎜⎟⎝⎠；(2)若ABC=，则()()RBRC=；(3)若ABO=，则BO=（矩阵乘法的消去律）；(4)A的列向量组一定线性无关；(5)若mn，则A的行向量组也线性无关．【测试题】设mn×矩阵A的秩()RAmn=，E为m阶单位阵，则下列各选项中正确的是__________(A)A的任意m个列向量线性无关；(B)A的任意一个m阶子式都不等于零；(C)若矩阵B满足BAO=，则BO=；(D)A通过初等行变换必可以化为()(,)mmnmEO×−的形式．六、正交矩阵1．与“A为正交阵”等价的说法有：线性代数解题方法和技巧 -9-(1)TAAE=（或TAAE=）；(2)A可逆且1TAA−=；(3)A的行（列）向量组两两正交，且都是单位向量．2．正交阵的性质(1)若A为正交阵，则1TAA−=也是正交阵，且1A=±；(2)若,AB为正交阵，则AB也是正交阵．【测试题】设,AB是n阶正交阵，则下列各选项中不正确的是__________(A)AB+是正交阵；(B)AB是正交阵；(C)1A−是正交阵；(D)若1A=−，则1λ=−是A的特征值．七、矩阵的初等变换与初等矩阵（口诀：左行右列）【测试题】1．设111213212223313233aaaAaaaaaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，212223111213311132123313aaaBaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠，1010100001P⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，210001010