7--多项式函数

数学与计算机科学学院教师讲稿1§7多项式函数教学目的：用函数的观点考察多项式教学重点：余数定理重根课时：2教学方式：讲练结合教学内容：一、多项式函数在§1—§6我们把数域P上的一个文字的多项式理解为形式的表达式nnnnxaxaxaa1110...。通常把这种理解称为多项式的形式观点；有时也把一元多项式理解为定义在数域P上的一个多项式函数，即),...,2,1(,,...:10niPaPxxaxaaxfinn。这种理解称为多项式的函数观点。对于数域P上的一元多项式来说可以证明这两种观点是统一的。在证明过程中数域P含有无穷多个元素这一性质是很起作用的。1、定义：0111)(axaxaxaxfnnnn设是][xP中的多项式，是P中的数，在)1(中用代替x所得的数0111aaaannnn称为时的值，在xxf)(记为)(f。这样，多项式)(xf就定义了一个数域P上的函数，叫数域P上的多项式函数。2、性质：数学与计算机科学学院教师讲稿2)()()(),()()()()()(),()()(2211gfhxgxfxhgfhxgxfxh则若则若二、余数定理：用)(xfx去除，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)(f。证明：设cxqxxf)()()(则cqf)()()(，故cf)(。如果)(xf在x时函数值0)(f，那么就称为)(xf的一个根或零点。推论：)()(0)(xfxf称为重根。时，称为单根，时，重根。的是重因式，则的是重根：若11)()()(kkkxfkxfxk由此可知定理8：个，重根按重数计算。中的根不可能多于在数域次多项式中nPnnxP)0(][证明对零次多项式定理显然成立。设)(xf是一个次数0的多项式。把)(xf分解成不可约多项式的乘积。由上面的推论与根的重数的定义，显然)(xf在数域P中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不超过n。提示：n次多项式不可能分解出n个以上的一次因式。数学与计算机科学学院教师讲稿3定理9：如果多项式)(),(xgxf的次数都不超过n，而它们对1n个不同的数n,...,,21有相同的值，即1,,2,1),()(nigfii那么)()(xgxf。证明：1,,2,1,0)()()())((,0)()()(),()(nigfhnxhxgxfxhxgxfiii令若与定理8矛盾。由定理8和定理9，在数域P上我们得到在数域P上多项式相等的充分必要条件是多项式函数相等。定理9告诉我们，给了数域P里1n个互不相同的数121,...,,naaa以及1n个不全为零的数121,...,,nbbb后，至多存在][xP的次数不超过n的多项式)(xf使1,...,2,1,)(nibafii。因为容易看出，以下公式给出的多项式)(xf就具有上述性质：1111111111))...()()...(())...()()...(()(niniiiiiiniiiaaaaaaaaaxaxaxaxbxf这个公式叫做拉格朗日插值公式。例1求次数小于3的多项式)(xf，使.3)2(,3)1(,1)1(fff由拉格朗日插值公式得数学与计算机科学学院教师讲稿41)12)(12()1)(1(3)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1()(2xxxxxxxxxf例2已知多项式61510)(25xxxxf有重根，试求它的所有根。解15205)(5xxxf。由辗转相除法得)213161)(6126()()6126()()(222xxxxxgxxxxfxf即12))(),((2xxxfxf，从而知1x为)(xf的三重根。又由综合除法得)63()1()(23xxxxf解方程0)63(2xx，得21531ix，21532ix所以)(xf的全部根为2153i，2153i，1，1，1。例3如果a是)(xf的一个k重根，证明：a是)()()]()([2)(afxfafxfaxxg的一个3k重根。证明数学与计算机科学学院教师讲稿5)(2)()(2)]()([21)(xfaxxgxfaxxfafxg易知，0)(,0)(agag，又因为ax是)(xf的k重根，从而ax是)(xg的1k重根，是)(xg的2k重根，进而是)(xg的3k重根。作业：19，22。